Considere a matriz simétrica A=(ai j), 1 <= i <= 3,1 <= j <= 3, que satisfaz as seguintes condições:
I) Se j=i+1 ou i=j+1, então ai j é a distância do ponto P ao ponto Q, sendo P e Q interseções da parábola y=x^2-2 x+1 com a reta y=-x+1.
II) Sej=i+2 ou i=j+2, então aij é a área do triângulo PQR , sendo o ponto R o simétrico de Q em relação à origem do sistema de coordenadas xOy.
III) Se i=j, então aij é o valor máximo da função quadrática f(x)=-2 x^2+4 x.
Assim sendo, escreva a matriz A e calcule o seu determinante.

Passo 1

Resumindo: temos uma matriz simétrica A=(aij)1<= i,j<=3 com três tipos de entradas: se lvert i-jrvert=1, aij é a distância entre os pontos P e Q, que são as interseções da parábola y=x^2-2x+1 com a reta y=-x+1; se lvert i-jrvert=2, aij é a área do triângulo PQR, onde R é o simétrico de Q em relação à origem; e se i=j, aii é o valor máximo da função quadrática f(x)=-2x^2+4x. Vamos achar P,Q,R, distância, área, máximo de f, montar A e calcular det(A).

Passo 2

Encontrar P e Q resolvendo
x^2-2x+1 = -x+1
que dá
x^2 -x =0Longrightarrow x=0 ou x=1
Para x=0, y=-0+1=1 P=(0,1). Para x=1, y=-1+1=0 Q=(1,0).

Passo 3

Calcular a distância PQ:
d = raiz(1-0)^2 + (0-1)^2 = raiz2

Passo 4

O ponto R é o simétrico de Q=(1,0) pela origem, logo R=(-1,0). A área do triângulo PQR tem base QR de comprimento 2 e altura 1, então
Área = 12 times 2 times 1 = 1 Á

Passo 5

A função f(x)=-2x^2+4x é uma parábola voltada para baixo cujo vértice em x=-tfrac b2a=1
f(1)=-2cdot1^2+4cdot1=2
Esse é o valor máximo, logo a11=a22=a33=2.

Passo 6

Montamos a matriz A colhendo raiz2 para lvert i-jrvert=1 e 1 para lvert i-jrvert=2:
A = 2 & raiz2 & 1 raiz2 & 2 & raiz2 1 & raiz2 & 2

Passo 7

Calculamos det(A) pela expansão na primeira linha:
det(A) =2det2 & raiz2 raiz2 & 2 -raiz2detraiz2 & raiz2 1 & 2 +1detraiz2 & 2 1 & raiz2
Os menores valem
det2 & raiz2 raiz2 & 2=4-2=2, detraiz2 & raiz2 1 & 2=2raiz2-raiz2=raiz2, detraiz2 & 2 1 & raiz2=2-2=0
Logo
det(A)=2cdot2-raiz2cdotraiz2+0=4-2=2

Resposta

A = 2 & raiz2 & 1 raiz2 & 2 & raiz2 1 & raiz2 & 2 , det(A)=2

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