(UF-RS) Na sequência 1, 3, 7, 15, …, cada termo, a partir do segundo, é obtido adicio-nando-se uma unidade ao dobro do termo anterior. 0 13이 termo dessa sequência é:
a) 2^11-1
b) 2^11+1
c) 2^12-1
d) 2^12+1
e) 2^13-1

Passo 1

O enunciado dá a sequência ,1,3,7,15,dots com a regra recursiva: a partir do segundo termo, cada termo é obtido por
an = 2,an-1 + 1,
e pede o 13-º termo. Vamos usar métodos de recorrência linear de primeira ordem para obter uma fórmula fechada.

Passo 2

Escrevemos a recorrência de forma padrão:
an = 2,an-1 + 1
Para resolver esse tipo de recorrência homogênea com termo constante, buscamos uma solução geral da forma
an = Ccdot 2^n + p,
onde p é uma solução particular constante.

Passo 3

Para achar a solução particular p, substituímos an = p na recorrência:
p = 2,p + 1
p - 2p = 1
-p = 1 Longrightarrow p = -1

Passo 4

Logo a solução geral é
an = Ccdot 2^n -1
Usamos o valor inicial a1 = 1 para achar C:
1 = Ccdot 2^1 -1 Longrightarrow 1 = 2C -1 Longrightarrow 2C = 2 Longrightarrow C = 1

Passo 5

Portanto a fórmula explícita da sequência é
an = 2^n - 1
Para n = 13 temos
a13 = 2^13 - 1

Resposta

e) 2^13-1

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