(UF-PI) Considere o número complexo z = i. Pode-se afirmar que o valor da soma z^0+z^1+z^2+ldots+z^2008 é:
a) -1
b) 0
c) 1
d) i
e) -i

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dos poderes de z definidos por
S = z^0 + z^1 + z^2 + cdots + z^2008
onde z = i. O conteúdo é série geométrica e uso da periodicidade das potências de i, já que ,i^4=1.

Passo 2

Observamos que as potências de i são periódicas de período 4:
i^0=1, i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1,;dots
Logo, para cada bloco de quatro termos
i^4k + i^4k+1 + i^4k+2 + i^4k+3 = 1 + i + (-1) + (-i) = 0

Passo 3

Como 2008 = 4 times 502, os primeiros 2008 expoentes ( k=0 até k=2007) formam exatamente 502 blocos de quatro termos. Cada bloco soma zero, então
sumk=0^2007 i^k = 502 times 0 = 0

Passo 4

Falta incluir o último termo k=2008. Como
i^2008 = i^4cdot 502 = (i^4)^502 = 1^502 = 1,
a soma total é
S = sumk=0^2007 i^k + i^2008 = 0 + 1 = 1

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados