Considere os números m=3^r cdot 144 e n=3^r cdot 95, onde r >= 0. Mostre que varphi(m)=varphi(n).

Passo 1

O enunciado define
m = 3^rcdot144 e
n = 3^rcdot95,
com r>=1 (note que para r=0 a igualdade não vale).
O objetivo é mostrar que varphi(m)=varphi(n).
Vamos usar dois fatos chave: a multiplicatividade de varphi e a fórmula
varphil(p^kr)=p^k-p^k-1(p primo,,k>=1)

Passo 2

Fatoramos m e n em primos:
144 = 2^4cdot3^2, 95 = 5cdot19
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m = 3^rcdot2^4cdot3^2 = 2^4cdot3^,r+2, n = 3^rcdot5cdot19

Passo 3

Calculamos varphi(m) usando multiplicatividade:
varphi(m) = varphil(2^4r);varphil(3^,r+2r)
Pela fórmula de potências primas,
varphil(2^4r)=2^4-2^3=16-8=8, varphil(3^,r+2r)=3^,r+2-3^,r+1 =3^,r+1(3-1)=2cdot3^,r+1
Portanto
varphi(m) =8;l(2cdot3^,r+1r) =16;3^,r+1

Passo 4

Calculamos varphi(n):
varphi(n) =varphil(3^rr);varphi(5);varphi(19)
Para r>=1,
varphil(3^rr)=3^r-3^r-1=2cdot3^r-1, varphi(5)=5-1=4, varphi(19)=19-1=18
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varphi(n) =l(2cdot3^r-1r)cdot4cdot18 =2cdot4cdot18;cdot3^r-1 =144;3^,r-1
E como 144=16cdot9=16cdot3^2, segue
varphi(n) =16cdot3^2cdot3^,r-1 =16;3^,r+1

Passo 5

Comparando, obtemos para todo r>=1:
varphi(m)=16;3^,r+1 e varphi(n)=16;3^,r+1,
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varphi(m)=varphi(n)

Resposta

varphi(m)=varphi(n)=16cdot3^,r+1

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