Considere o polinômio p(x)=3 x^3+2 x^2-12 x+k e responda:
a) Se-2 é raiz de p(x), qual é o valor de k?
b) Se k=1, qual é o resto da divisão de p(x) por x-3 ?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x) = 3x^3 + 2x^2 - 12x + k
e pede duas coisas:
a) o valor de k para que -2 seja raiz (teorema do fator).
b) com k=1, o resto da divisão de p(x) por x-3 (teorema do resto).

Passo 2

Para ter -2 como raiz, usamos p(-2)=0. Calculamos
p(-2) = 3cdot(-2)^3 + 2cdot(-2)^2 - 12cdot(-2) + k = -24 + 8 + 24 + k = 8 + k
A condição p(-2)=0
8 + k = 0 Longrightarrow k = -8

Passo 3

Com k=1, o resto da divisão por x-3 é simplesmente p(3). Logo
p(3) = 3cdot3^3 + 2cdot3^2 - 12cdot3 + 1 = 81 + 18 - 36 + 1 = 64

Resposta

a) k = -8.
b) Resto = 64.

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