Considere S(x) como o predicado " x é um estudante", F(x) o predicado " x é um membro da faculdade" e A(x, y) o predicado " x fez uma pergunta a y ", em que o domínio são todas as pessoas associadas a sua escola. Use quantificadores para expressar cada proposição a seguir.
a) Lois fez uma pergunta ao professor Michaels.
b) Todo estudante fez uma pergunta ao professor Gross.
c) Todo membro da faculdade ou fez uma pergunta ao professor Miller ou foi questionado pelo professor Miller.
d) Algum estudante não fez nenhuma pergunta a qualquer membro da faculdade.
e) Há um membro da faculdade que nunca recebeu uma pergunta de um estudante.
f) Algum estudante fez uma pergunta a todos os membros da faculdade.
g) Há um membro da faculdade que fez uma pergunta a outro membro da faculdade.
h) Algum estudante nunca recebeu uma pergunta feita por um membro da faculdade.

Passo 1

Nesta questão temos os predicados S(x), F(x) e A(x,y) e devemos traduzir frases em português para lógica de predicados usando quantificadores. Vamos precisar usar \forall, \exists e negações para expressar corretamente cada sentença.

Passo 2

Tradução de (a): Lois fez uma pergunta ao professor Michaels.
Nesse caso usamos as constantes \mathrm{Lois} e \mathrm{Michaels} diretamente no predicado A: A(\mathrm{Lois},\mathrm{Michaels}).

Passo 3

Tradução de (b): Todo estudante fez uma pergunta ao professor Gross.
Para cada x, se x é estudante então x perguntou a \mathrm{Gross}: \forall x\,(S(x)\to A(x,\mathrm{Gross})).

Passo 4

Tradução de (c): Todo membro da faculdade ou fez uma pergunta ao professor Miller ou foi questionado por ele.
Para cada x, se x é membro então x perguntou a \mathrm{Miller} ou \mathrm{Miller} perguntou a x: \forall x\,(F(x)\to (A(x,\mathrm{Miller})\lor A(\mathrm{Miller},x))).

Passo 5

Tradução de (d): Algum estudante não fez nenhuma pergunta a qualquer membro da faculdade.
Existe um estudante x tal que para todo membro y, x não perguntou a y: \exists x\,(S(x)\land \forall y\,(F(y)\to \neg A(x,y))).

Passo 6

Tradução de (e): Há um membro da faculdade que nunca recebeu uma pergunta de um estudante.
Existe um x membro que para todo estudante y, y não perguntou a x: \exists x\,(F(x)\land \forall y\,(S(y)\to \neg A(y,x))).

Passo 7

Tradução de (f): Algum estudante fez uma pergunta a todos os membros da faculdade.
Existe um estudante x tal que para todo y membro da faculdade, x perguntou a y: \exists x\,(S(x)\land \forall y\,(F(y)\to A(x,y))).

Passo 8

Tradução de (g): Há um membro da faculdade que fez uma pergunta a outro membro da faculdade.
Existe um membro x e um membro distinto y tais que x perguntou a y: \exists x\,(F(x)\land \exists y\,(F(y)\land x\neq y\land A(x,y))).

Passo 9

Tradução de (h): Algum estudante nunca recebeu uma pergunta feita por um membro da faculdade.
Existe um estudante x tal que para todo membro y, y não perguntou a x: \exists x\,(S(x)\land \forall y\,(F(y)\to \neg A(y,x))).

Resposta

(a) A(\mathrm{Lois},\mathrm{Michaels})
(b) \forall x\,(S(x)\to A(x,\mathrm{Gross}))
(c) \forall x\,(F(x)\to (A(x,\mathrm{Miller})\lor A(\mathrm{Miller},x)))
(d) \exists x\,(S(x)\land \forall y\,(F(y)\to \neg A(x,y)))
(e) \exists x\,(F(x)\land \forall y\,(S(y)\to \neg A(y,x)))
(f) \exists x\,(S(x)\land \forall y\,(F(y)\to A(x,y)))
(g) \exists x\,(F(x)\land \exists y\,(F(y)\land x\neq y\land A(x,y)))
(h) \exists x\,(S(x)\land \forall y\,(F(y)\to \neg A(y,x)))

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