Considere a_{n} como a soma dos primeiros n quadrados perfeitos, ou seja, a_{n}=\sum_{k=1}^{n} k^{2}. Mostre que a seqüência \left\{a_{n}\right\} satisfaz a relação de recorrência linear e heterogênea a_{n}=a_{n-1}+n^{2} e a condição inicial a_{1}=1. Use o Teorema 6 para determinar uma fórmula para a_{n}, resolvendo esta relação de recorrência.

Passo 1

O enunciado define
a_{n}=\sum_{k=1}^{n}k^{2},
e mostra que ela satisfaz a recorrência de primeira ordem não homogênea
a_{n}=a_{n-1}+n^{2},
com condição inicial \;a_{1}=1.
O conteúdo principal aqui é a resolução de recorrências lineares não homogêneas: pelo Teorema 6, a solução geral é a soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Encontramos primeiro a solução da parte homogênea
a_{n}^{(h)}-a_{n-1}^{(h)}=0.
A equação característica é r-1=0, logo r=1. Portanto
a_{n}^{(h)}=C\cdot1^{n}=C,
onde C é constante.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular \;a_{n}^{(p)}\) tal que \[a_{n}^{(p)}-a_{n-1}^{(p)}=n^{2}.
Como o termo não homogêneo n^{2} é polinomial de grau 2, tentamos
a_{n}^{(p)}=\alpha n^{3}+\beta n^{2}+\gamma n+\delta.
Calculamos a diferença:
a_{n}^{(p)}-a_{n-1}^{(p)} =\alpha\bigl(n^{3}-(n-1)^{3}\bigr) +\beta\bigl(n^{2}-(n-1)^{2}\bigr) +\gamma\bigl(n-(n-1)\bigr).
Expandindo, obtemos
\alpha(3n^{2}-3n+1)+\beta(2n-1)+\gamma = n^{2}.
Igualando coeficientes de n^{2}, n e termo constante:
\begin{cases} 3\alpha = 1,\\\\ -3\alpha + 2\beta = 0,\\\ \alpha - \beta + \gamma = 0, \end{cases}
resolvendo dá \alpha=\tfrac13\], \(\beta=\tfrac12, \gamma=\tfrac16. O \delta fica livre, pois cai na parte homogênea.

Passo 4

A solução geral é
a_{n}=a_{n}^{(h)}+a_{n}^{(p)} =C + \tfrac13n^{3}+\tfrac12n^{2}+\tfrac16n.
Impondo a_{1}=1, temos
1 = C + \Bigl(\tfrac13\cdot1^{3}+\tfrac12\cdot1^{2}+\tfrac16\cdot1\Bigr) = C + 1,
logo C=0.

Passo 5

Portanto
a_{n}=\tfrac13n^{3}+\tfrac12n^{2}+\tfrac16n.
Fatorando, chega-se à forma clássica

Resposta

a_{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

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