Considere a_{n} como a soma dos primeiros n quadrados perfeitos, ou seja, a_{n}=\sum_{k=1}^{n} k^{2}. Mostre que a seqüência \left\{a_{n}\right\} satisfaz a relação de recorrência linear e heterogênea a_{n}=a_{n-1}+n^{2} e a condição inicial a_{1}=1. Use o Teorema 6 para determinar uma fórmula para a_{n}, resolvendo esta relação de recorrência.
Passo 1
O enunciado define
a_{n}=\sum_{k=1}^{n}k^{2},
e mostra que ela satisfaz a recorrência de primeira ordem não homogênea
a_{n}=a_{n-1}+n^{2},
com condição inicial \;a_{1}=1.
O conteúdo principal aqui é a resolução de recorrências lineares não homogêneas: pelo Teorema 6, a solução geral é a soma da solução homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Encontramos primeiro a solução da parte homogênea
a_{n}^{(h)}-a_{n-1}^{(h)}=0.
A equação característica é r-1=0, logo r=1. Portanto
a_{n}^{(h)}=C\cdot1^{n}=C,
onde C é constante.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular \;a_{n}^{(p)}\) tal que
\[a_{n}^{(p)}-a_{n-1}^{(p)}=n^{2}.
Como o termo não homogêneo n^{2} é polinomial de grau 2, tentamos