Encontre a forma geral das soluções da relação de recorrência
.
Passo 1
O enunciado dá a relação de recorrência linear homogênea de ordem 4
e pede a forma geral de suas soluções. Vamos usar o método do polinômio característico, encontrando as raízes e suas multiplicidades para então escrever a solução geral.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na recorrência, obtemos o polinômio característico
dividindo por
(supondo
), vem
Passo 3
Note que
é uma quadrática em
. Definindo
, temos
O discriminante é
, logo há raiz dupla
Passo 4
Voltando a
,
dá
e
. Como
era raiz dupla de
, cada um desses valores de
tem multiplicidade 2 no polinômio característico. Pela teoria, uma raiz de multiplicidade 2 gera fatores do tipo
.
Passo 5
Com isso, a solução geral da recorrência é
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.