Encontre a forma geral das soluções da relação de recorrência a_{n}=8 a_{n-2}-16 a_{n-4}.

Passo 1

O enunciado dá a relação de recorrência linear homogênea de ordem 4
a_{n} \;=\; 8\,a_{n-2}\;-\;16\,a_{n-4}
e pede a forma geral de suas soluções. Vamos usar o método do polinômio característico, encontrando as raízes e suas multiplicidades para então escrever a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo a_{n}=r^{n}. Substituindo na recorrência, obtemos o polinômio característico
r^{n}=8\,r^{\,n-2}-16\,r^{\,n-4}
dividindo por r^{\,n-4} (supondo r\neq0), vem
r^{4}-8r^{2}+16=0.

Passo 3

Note que r^{4}-8r^{2}+16 é uma quadrática em r^{2}. Definindo x=r^{2}, temos
x^{2}-8x+16=0.
O discriminante é \Delta=64-64=0, logo há raiz dupla x=4.

Passo 4

Voltando a r, r^{2}=4 r=2 e r=-2. Como x=4 era raiz dupla de x^{2}-8x+16, cada um desses valores de r tem multiplicidade 2 no polinômio característico. Pela teoria, uma raiz de multiplicidade 2 gera fatores do tipo (C + D\,n)r^{n}.

Passo 5

Com isso, a solução geral da recorrência é
a_{n}=\bigl(C_{1}+C_{2}\,n\bigr)2^{n} \;+\;\bigl(C_{3}+C_{4}\,n\bigr)(-2)^{n},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

a_{n}=(C_{1}+C_{2}n)\,2^{n}+(C_{3}+C_{4}n)\,(-2)^{n}.

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