Qual é a forma geral de uma solução particular garantida pelo Teorema 6 para a relação de recorrência linear e heterogênea
, se
?
Passo 1
O enunciado pede a forma geral de uma solução particular para a recorrência
com
. O conteúdo é método dos coeficientes a determinar para recurrences lineares não homogêneas, usando o Teorema 6 que garante que, se
, então uma solução particular pode ser buscada como
onde
é polinomial de grau igual ao de
e
é a multiplicidade de
como raiz do polinômio característico.
Passo 2
Encontramos o polinômio característico da parte homogênea:
A única raiz é
, com multiplicidade 3.
Passo 3
Como o termo forçante tem
, verificamos se
é raiz do característico.
Substituindo,
Substituindo,
logo
não é raiz. Portanto a multiplicidade
de
no característico é
.
Passo 4
O polinômio
que multiplica
em
tem grau 3
. Pelo Teorema 6, como
, basta escolher
de grau 3. Assim propomos
com
onde
são constantes a determinar.
Resposta
A forma geral garantida pelo Teorema 6 é