Qual é a forma geral de uma solução particular garantida pelo Teorema 6 para a relação de recorrência linear e heterogênea a_{n}=6 a_{n-1}-12 a_{n-2}+8 a_{n-3}+F(n), se
F(n)=n^{3}(-2)^{n} ?

Passo 1

O enunciado pede a forma geral de uma solução particular para a recorrência
a_{n} - 6\,a_{n-1} + 12\,a_{n-2} - 8\,a_{n-3} = F(n),
com F(n)=n^{3}(-2)^{n}. O conteúdo é método dos coeficientes a determinar para recurrences lineares não homogêneas, usando o Teorema 6 que garante que, se F(n)=P(n)\,r^{n}, então uma solução particular pode ser buscada como
a_{n}^{(p)}=n^{s}\,Q(n)\,r^{n},
onde Q é polinomial de grau igual ao de P e s é a multiplicidade de r como raiz do polinômio característico.

Passo 2

Encontramos o polinômio característico da parte homogênea:
\lambda^{3} - 6\lambda^{2} + 12\lambda - 8 = (\lambda - 2)^{3}.
A única raiz é \lambda=2, com multiplicidade 3.

Passo 3

Como o termo forçante tem r=-2, verificamos se -2 é raiz do característico.
Substituindo,
(-2-2)^{3}=(-4)^{3}\neq 0,
logo -2 não é raiz. Portanto a multiplicidade s de -2 no característico é s=0.

Passo 4

O polinômio P(n) que multiplica (-2)^{n} em F(n) tem grau 3 P(n)=n^{3}. Pelo Teorema 6, como s=0, basta escolher Q(n) de grau 3. Assim propomos
a_{n}^{(p)} = Q(n)\,(-2)^{n},
com
Q(n) = A\,n^{3} + B\,n^{2} + C\,n + D,
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Resposta

A forma geral garantida pelo Teorema 6 é
a_{n}^{(p)} = (-2)^{n}\bigl(A\,n^{3} + B\,n^{2} + C\,n + D\bigr).

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