Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
Passo 1
O enunciado apresenta a relação de recorrência
e pede para identificar se ela é linear, homogênea e com coeficientes constantes, além de determinar o seu grau (ou ordem). Para isso precisamos lembrar que:
- É linear se
aparece apenas em combinações lineares sem produtos nem funções não lineares das . - É homogênea se não há termo independente de
(ou seja, não aparece uma função de ou uma constante isolada). - Tem coeficientes constantes se os números multiplicando os
não dependem de . - O grau (ou ordem) é o maior deslocamento entre
e os índices de que aparecem.
Passo 2
Verificação de linearidade: do lado direito só há termos da forma constante vezes
, sem multiplicação entre as próprias
nem funções não lineares. Logo, é linear.
Verificação de homogeneidade: não existe nenhum termo independente de (por exemplo, uma constante isolada ou função de
). Portanto, é homogênea.
Verificação de coeficientes constantes: os coeficientes ,
e
são números fixos, não variam com
. Logo, os coeficientes são constantes.
Verificação de homogeneidade: não existe nenhum termo independente de
Verificação de coeficientes constantes: os coeficientes
Passo 3
Determinação do grau (ordem): os deslocamentos presentes são
,
e
. O maior deles é
, portanto o grau da recorrência é
.
Resposta
A relação
é uma recorrência linear, homogênea, com coeficientes constantes e de grau (ordem)
.