Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
a_{n}=4 a_{n-2}+5 a_{n-4}+9 a_{n-7}

Passo 1

O enunciado apresenta a relação de recorrência
a_{n}=4\,a_{n-2}+5\,a_{n-4}+9\,a_{n-7}
e pede para identificar se ela é linear, homogênea e com coeficientes constantes, além de determinar o seu grau (ou ordem). Para isso precisamos lembrar que:
  • É linear se a_n aparece apenas em combinações lineares sem produtos nem funções não lineares das a_k.
  • É homogênea se não há termo independente de a_k (ou seja, não aparece uma função de n ou uma constante isolada).
  • Tem coeficientes constantes se os números multiplicando os a_k não dependem de n.
  • O grau (ou ordem) é o maior deslocamento entre n e os índices de a que aparecem.

Passo 2

Verificação de linearidade: do lado direito só há termos da forma constante vezes a_{n-j}, sem multiplicação entre as próprias a_{n-j} nem funções não lineares. Logo, é linear.
Verificação de homogeneidade: não existe nenhum termo independente de a (por exemplo, uma constante isolada ou função de n). Portanto, é homogênea.
Verificação de coeficientes constantes: os coeficientes 4, 5 e 9 são números fixos, não variam com n. Logo, os coeficientes são constantes.

Passo 3

Determinação do grau (ordem): os deslocamentos presentes são 2, 4 e 7. O maior deles é 7, portanto o grau da recorrência é 7.

Resposta

A relação
a_{n}=4\,a_{n-2}+5\,a_{n-4}+9\,a_{n-7}
é uma recorrência linear, homogênea, com coeficientes constantes e de grau (ordem) 7.

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