Consideremos dois números reais positivos e distintos a e b. Sejam.
mA= média aritrnética de a e b
mG= média geometrica positiva de a e b
mH= média harmonica de a e b
Prove que: mH<mG<mA

Passo 1

O enunciado dá dois reais positivos e distintos a e b e define as três médias
mA = a + b2, mG = raizab, mH = 2tfrac1a + tfrac1b = 2aba + b
O que queremos provar é
mH < mG < mA
Para isso vamos usar duas ideias: (i) desenvolver um quadrado perfeito para comparar mG e mA e (ii) observar uma relação simples entre mA, mG e mH.

Passo 2

Provar mG < mA. Note que, como todo quadrado é não-negativo, temos
0 <= (raiza - raizb)^2 = a - 2raizab + b = (a + b) - 2raizab
Isolando 2raizab vem
2raizab <= a + b Longrightarrow raizab <= a + b2
Como aneq b o quadrado é estritamente positivo, e portanto a desigualdade é estrita:
mG = raizab < a + b2 = mA

Passo 3

Relacionar mA, mG e mH. Observe que
mA,mH = a+b2;cdot;2aba+b = ab = (raizab)^2 = mG^2
Logo
mH = mG^2mA
Já estabelecemos que mG < mA. Como mG e mA são positivos, elevar à quadrado e depois dividir por mA preserva a desigualdade, ou seja
mG^2 < mG,mA Longrightarrow mG^2mA < mG Longrightarrow mH < mG

Resposta

mH < mG < mA

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