Consideremos dois números reais positivos e distintos a e b. Sejam.
média aritrnética de a e b
média geometrica positiva de
e
média harmonica de a e b
Prove que:
Prove que:
Passo 1
O enunciado dá dois reais positivos e distintos
e
e define as três médias
O que queremos provar é
Para isso vamos usar duas ideias: (i) desenvolver um quadrado perfeito para comparar
e
e (ii) observar uma relação simples entre
,
e
.
Passo 2
Provar
. Note que, como todo quadrado é não-negativo, temos
Isolando
vem
Como
o quadrado é estritamente positivo, e portanto a desigualdade é estrita:
Passo 3
Relacionar
,
e
. Observe que
Logo
Já estabelecemos que
. Como
e
são positivos, elevar à quadrado e depois dividir por
preserva a desigualdade, ou seja