Resolva as inequações
b) (x+7)(3 x-1)(4 x+2) >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação do terceiro grau
(x+7)(3x-1)(4x+2)>= 0
O conteúdo envolve análise de sinal de um produto de três fatores lineares. Vamos encontrar as raízes de cada fator, dividir a reta real em intervalos e testar o sinal do produto em cada um.

Passo 2

Cada fator anula-se quando:
x+7=0implies x=-7,
3x-1=0implies x=tfrac13,
4x+2=0implies x=-tfrac12
Ordenando esses valores na reta:
- infty;<;-7;<;- tfrac12;<;tfrac13;<;+infty
Esses pontos particionam a reta em quatro intervalos.

Passo 3

Agora testamos o sinal do produto em cada intervalo, escolhendo um valor de x representativo:
No intervalo (-infty,-7), tome x=-8:
(x+7)=-1,(3x-1)=3cdot(-8)-1=-25,(4x+2)=4cdot(-8)+2=-30,
produto (-) cdot (-) cdot (-)= -, logo negativo.
No intervalo (-7,-tfrac12), tome x=-1:
(x+7)=6,(3x-1)=-4,(4x+2)=-2,
produto (+) cdot (-) cdot (-)= +, logo positivo.
No intervalo (-tfrac12,tfrac13), tome x=0:
(x+7)=7,(3x-1)=-1,(4x+2)=2,
produto (+) cdot (-) cdot (+)= -, logo negativo.
No intervalo (tfrac13,infty), tome x=1:
(x+7)=8,(3x-1)=2,(4x+2)=6,
produto (+) cdot (+) cdot (+)= +, logo positivo.

Passo 4

Queremos (x+7)(3x-1)(4x+2)>= 0, isto é, onde o produto é positivo ou zero. Do teste de sinais, o produto é positivo em
(-7,-tfrac12) e em (tfrac13,infty), e zera exatamente nos pontos x=-7, x=-tfrac12 e x=tfrac13. Como a inequação é “ >=0”, incluímos esses zeros.

Resposta

boxed;[-7,,-tfrac12];cup;[tfrac13,,+infty);

Exercícios de Livros Relacionados