Construa o gráfico cartesiano das funções definidas em R :
h) y=-12 x^2-x-32

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função quadrática
y = -tfrac12 x^2 - x - tfrac32
definida em R. O que precisamos fazer é identificar a concavidade, o vértice, o eixo de simetria, interceptos e mais alguns pontos para desenhar a parábola.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral ax^2+bx+c:
a = -tfrac12, b = -1, c = -tfrac32
Como a<0, a parábola abre para baixo. O eixo de simetria é dado por
xv = -b2a

Passo 3

Calculamos o vértice (xv,yv). Primeiro
xv = --12cdot(-tfrac12) = 1-1 = -1
Depois,
yv = -tfrac12(-1)^2 -(-1) - tfrac32 = -tfrac12 +1 - tfrac32 = -1
Logo, o vértice é (-1,-1).

Passo 4

Para ver se há raízes reais, calculamos o discriminante
De<a = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4cdot(-tfrac12)cdot(-tfrac32) = 1 - 3 = -2
Como De<a<0, não há interceptos com o eixo x.

Passo 5

Calculamos o ponto onde a parábola cruza o eixo y, isto é em x=0:
y(0) = -tfrac12cdot0^2 - 0 - tfrac32 = -tfrac32
Portanto o ponto (0,-tfrac32) pertence ao gráfico. Por simetria, também podemos usar
x = -2Rightarrow y(-2) = -tfrac12cdot4 +2 - tfrac32 = -2 +2 - tfrac32 = -tfrac32,
obtendo o ponto (-2,-tfrac32).

Passo 6

Agora temos elementos suficientes para o esboço:
  • Vértice em (-1,-1).
  • A parábola abre para baixo (concavidade para baixo).
  • Não cruza o eixo x.
  • Pontos (0,-tfrac32) e (-2,-tfrac32) simétricos em relação a x=-1.
Desenhando o eixo x=-1, marcamos o vértice nele, colocamos os pontos de ordenada -tfrac32 e traçamos uma curva suave que abre para baixo.

Resposta

O gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, vértice em (-1,-1), sem raízes reais, intercepto em y no ponto (0,-tfrac32) e seu simétrico (-2,-tfrac32), tendo eixo de simetria a reta x=-1.

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