Determine, em R, o conjunto solução das inequações:
xx+1-xx-1 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a inequação
xx+1-xx-1>=0
O conteúdo envolvido é resolução de inequações racionais, em que precisamos encontrar o domínio (onde o denominador não zera), colocar tudo num único quociente e estudar o sinal desse quociente.

Passo 2

Colocamos as frações sobre um mesmo denominador:
xx+1-xx-1 =x,(x-1)-x,(x+1)(x+1)(x-1) =x(x-1-x-1)(x+1)(x-1) =-2x(x+1)(x-1)

Passo 3

A inequação fica
-2x(x+1)(x-1)>=0
Como -2<0, podemos multiplicar ambos os lados por -tfrac12 (invertendo o sinal da desigualdade) e obter
x(x+1)(x-1)<=0

Passo 4

Definimos a função racional
f(x)=x(x+1)(x-1)
Os pontos críticos são onde o numerador ou denominador zera, ou seja, x=0, x=-1 e x=1. Note que x=-1 e x=1 estão fora do domínio. Fazemos o quadro de sinais:
Intervalo (-infty,-1) (-1,0) (0,1) (1,infty)
sinal de x - - + +
sinal de (x+1) - + + +
sinal de (x-1) - - - +
sinal de f(x) ,- + - +
Queremos f(x)<=0. Isso ocorre em (-infty,-1) e em (0,1). Além disso, como f(0)=0, incluímos x=0. Já em x=-1 e x=1 a função não está definida, então não podem entrar na solução.

Resposta

(-infty,-1),cup,[0,1)

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