Sejam p(x)=x^2-5 x+6 e q(x)=x^2+5 x+6. Se a é um número real e p(a)<0, qual é a condição que deve satisfazer q(a) ?

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios quadráticos
p(x)=x^2-5x+6
e
q(x)=x^2+5x+6
e pede que, sabendo que p(a)<0, a gente encontre que sinal ou condição vale para q(a). O conteúdo principal aqui é análise de sinal de parabolas: achar raízes, ver onde o polinômio é negativo ou positivo.

Passo 2

Vamos fatorar p(x). Note que
p(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima, logo p(x)<0 só entre as raízes. Assim
p(a)<0Longrightarrow 2<a<3

Passo 3

Agora escrevemos q(x) em forma fatorada:
q(x)=x^2+5x+6=(x+2)(x+3)
Queremos analisar q(a) para a no intervalo (2,3).

Passo 4

Se 2<a<3, então
a+2>4>0 e a+3>5>0
Multiplicando, obtemos (a+2)(a+3)>0. Como (a+2)(a+3)=q(a), fica
q(a)>0

Resposta

q(a)>0

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