Construa o gráfico da função em definida por .

Solução

Vamos construir uma tabela atribuindo valores a e calculando , e x. Temos:
-2 -3
-1 -2
0 -1
1 0 1 3
2 1 2 6
3 2 4 12
4 3 8 24

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função
fcolon RtoR, f(x)=3cdot2^,x-1
Conteúdo aplicado: estudo de funções exponenciais. Para desenhar o gráfico, precisamos
  1. calcular alguns pontos notáveis,
  2. identificar a assíntota horizontal e
  3. saber o comportamento (crescente ou decrescente).

Passo 2

Vamos montar uma tabela de valores calculando (x-1), 2^x-1 e y=3cdot2^,x-1:
x x-1 2^x-1 y=3cdot2^,x-1
-2 -3 tfrac18 tfrac38
-1 -2 tfrac14 tfrac34
0 -1 tfrac12 tfrac32
1 0 1 3
2 1 2 6
3 2 4 12
4 3 8 24

Passo 3

Analisando a forma geral de f(x)=3cdot2^,x-1:
  • É uma exponencial com base 2>1, logo crescente em todo R.
  • Quando xto-infty, 2^x-1to0 e portanto f(x)to0. Isso mostra que há uma assíntota horizontal
y=0
  • Quando xto+infty, f(x)to+infty.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, plotamos os pontos da tabela e ligamos com uma curva suave que:
  • se aproxima de y=0 à esquerda,
  • passa por (1,3) (intercepto em y) e pelos demais pontos,
  • cresce rapidamente para a direita.

Resposta

Características do gráfico de f(x)=3cdot2^,x-1:
  • Domínio: R.
  • Imagem: (0,+infty).
  • Assíntota horizontal: y=0.
  • Crescente em todo R.
  • Passa pelos pontos (-2,tfrac38),;(-1,tfrac34),;(0,tfrac32),;(1,3),;(2,6),;(3,12),dots
Esboce no plano cartesiano conectando esses pontos com uma curva exponencial suave.

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