Construa os gráficos das funções em
definidas por:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
em
. Vamos usar propriedades de domínio, paridade, limites, monotonicidade e concavidade para montar o esboço.
Passo 2
Domínio e ponto de partida: a função
está definida para todo
. Em particular,
logo o gráfico passa pela origem
.
Passo 3
Paridade: calculemos
:
Isso mostra que
é função ímpar, portanto o gráfico é simétrico em relação à origem.
Passo 4
Limites nas extremidades:
Não há assíntotas horizontais; para
muito grande o termo
domina, e para
muito negativo o termo
domina.
Passo 5
Monotonicidade: a derivada é
Como
em todo
, temos
. Logo
é estritamente crescente em todo o domínio.
Passo 6
Concavidade e ponto de inflexão: a segunda derivada é
Para
,
e
(concavidade para baixo); para
,
e
(concavidade para cima). O ponto
é ponto de inflexão.
Passo 7
Pontos notáveis e esboço:
Para ter a forma exata do traço, podemos calcular alguns valores:
Para ter a forma exata do traço, podemos calcular alguns valores:
e pelos pares pelo eixo
(simetria ímpar):
Unindo tudo: função ímpar, passa por
, é crescente, sai suavemente para
à esquerda e cresce exponencialmente para
à direita, mudando de concavidade em
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva ímpar, estritamente crescente, que passa pela origem, com concavidade para baixo em
e para cima em
, aproximando-se de
quando
e de
quando
.