Construa os gráficos das funções em R definidas por:
f(x)=2^x-2^-x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=2^x-2^-x
em R. Vamos usar propriedades de domínio, paridade, limites, monotonicidade e concavidade para montar o esboço.

Passo 2

Domínio e ponto de partida: a função f está definida para todo xinR. Em particular,
f(0)=2^0-2^0=0,
logo o gráfico passa pela origem (0,0).

Passo 3

Paridade: calculemos f(-x):
f(-x)=2^-x-2^x= -l(2^x-2^-xr)=-f(x)
Isso mostra que f é função ímpar, portanto o gráfico é simétrico em relação à origem.

Passo 4

Limites nas extremidades:
limxto+inftyf(x)=limxto+inftyl(2^x-2^-xr)=+infty,
limxto-inftyf(x)=limxto-inftyl(2^x-2^-xr)=-infty
Não há assíntotas horizontais; para x muito grande o termo 2^x domina, e para x muito negativo o termo -2^-x domina.

Passo 5

Monotonicidade: a derivada é
f'(x)=ln(2),l(2^x+2^-xr)
Como 2^x+2^-x>0 em todo R, temos f'(x)>0. Logo f é estritamente crescente em todo o domínio.

Passo 6

Concavidade e ponto de inflexão: a segunda derivada é
f''(x)=(ln2)^2l(2^x-2^-xr)=(ln2)^2f(x)
Para x<0, f(x)<0 e f''(x)<0 (concavidade para baixo); para x>0, f(x)>0 e f''(x)>0 (concavidade para cima). O ponto x=0 é ponto de inflexão.

Passo 7

Pontos notáveis e esboço:
Para ter a forma exata do traço, podemos calcular alguns valores:
f(1)=2-tfrac12=1,5, f(2)=4-tfrac14=3,75,
e pelos pares pelo eixo y (simetria ímpar):
f(-1)=-1,5, f(-2)=-3,75
Unindo tudo: função ímpar, passa por (0,0), é crescente, sai suavemente para -infty à esquerda e cresce exponencialmente para +infty à direita, mudando de concavidade em x=0.

Resposta

O gráfico de f(x)=2^x-2^-x é uma curva ímpar, estritamente crescente, que passa pela origem, com concavidade para baixo em x<0 e para cima em x>0, aproximando-se de -infty quando xto-infty e de +infty quando xto+infty.

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