4.6.8 Construa
, em que
é o tensor eletromagnético dado pela Equação (4.153).
Isso corresponde a
Essa transformação, às vezes denominada transformação dual, deixa invariantes as equações de Maxwell no vácuo (
).)
Passo 1
O enunciado pede para construir o dual
do tensor eletromagnético
dado por
O conteúdo envolve tensores antissimétricos e o símbolo de Levi-Civita em quatro dimensões.
Passo 2
Lembramos que a definição do dual é
onde
é o símbolo completamente antissimétrico com
e
.
Passo 3
Calculamos primeiro as componentes mista-temporais (
,
). Como
usa-se
, obtendo-se
Passo 4
Agora as componentes puramente espaciais (
,
). Tem-se
com
e
, levando a
Passo 5
Juntando tudo, o dual
fica em forma matricial