4.6.8 Construa , em que
é o tensor eletromagnético dado pela Equação (4.153).
Isso corresponde a
Essa transformação, às vezes denominada transformação dual, deixa invariantes as equações de Maxwell no vácuo (
).
Passo 1
O enunciado pede para construir o dual
do tensor eletromagnético
dado por
O conteúdo envolve tensores antissimétricos e o símbolo de Levi-Civita em quatro dimensões.
Passo 2
Lembramos que a definição do dual é
onde
é o símbolo completamente antissimétrico com
e
.
Passo 3
Calculamos primeiro as componentes mista-temporais (
tildeF^0i=12,epsilon^0,i,j,kFjk e Fjk=-epsilonjkpB^p, ,
tildeF^0i=-B^i ). Como
usa-se
, obtendo-se
Passo 4
Agora as componentes puramente espaciais (
tildeF^ij=12,epsilon^i,j,0,kF0k, ,
tildeF^ij=-epsilon^ijkEk ). Tem-se
com
e
, levando a
Passo 5
Juntando tudo, o dual
tildeF^munu= 0 & -Bx & -By & -Bz Bx & 0 & -Ez & Ey By & Ez & 0 & -Ex Bz & -Ey & Ex & 0 fica em forma matricial
Resposta
[
\tilde{F}{\mu\nu}=\frac{1}{2},\epsilon{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}
]