4.6.8 Construa \tilde{\mathbf{F}}\, o dual de \(\mathbf{F}, em que \mathbf{F} é o tensor eletromagnético dado pela Equação (4.153).
Isso corresponde a
Essa transformação, às vezes denominada transformação dual, deixa invariantes as equações de Maxwell no vácuo ( \rho=0 ).)

Passo 1

O enunciado pede para construir o dual \tilde{F}^{\mu\nu} do tensor eletromagnético F^{\mu\nu} dado por
F^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z\\\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\\ E_y & B_z & 0 & -B_x\\\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolve tensores antissimétricos e o símbolo de Levi-Civita em quatro dimensões.

Passo 2

Lembramos que a definição do dual é
\tilde{F}^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\,\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\,F_{\rho\sigma},
onde \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} é o símbolo completamente antissimétrico com \epsilon^{0123}=+1 e F_{\rho\sigma}=g_{\rho\alpha}g_{\sigma\beta}F^{\alpha\beta}.

Passo 3

Calculamos primeiro as componentes mista-temporais ( \mu=0, \nu=i). Como
\tilde{F}^{0i}=\frac{1}{2}\,\epsilon^{0\,i\,j\,k}F_{jk} \quad\text{e}\quad F_{jk}=-\epsilon_{jkp}B^p,
usa-se \epsilon^{0ijk}=-\epsilon^{ijk}, obtendo-se
\tilde{F}^{0i}=-B^i.

Passo 4

Agora as componentes puramente espaciais ( \mu=i, \nu=j). Tem-se
\tilde{F}^{ij}=\frac{1}{2}\,\epsilon^{i\,j\,0\,k}F_{0k},
com \epsilon^{ij0k}=\epsilon^{ijk} e F_{0k}=-E_k, levando a
\tilde{F}^{ij}=-\epsilon^{ijk}E_k.

Passo 5

Juntando tudo, o dual \tilde{F}^{\mu\nu} fica em forma matricial
\tilde{F}^{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 0 & -B_x & -B_y & -B_z\\\ B_x & 0 & -E_z & E_y \\\ B_y & E_z & 0 & -E_x\\\ B_z & -E_y & E_x & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\tilde{F}^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\,\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma} = \begin{pmatrix} 0 & -B_x & -B_y & -B_z\\\ B_x & 0 & -E_z & E_y \\\ B_y & E_z & 0 & -E_x\\\ B_z & -E_y & E_x & 0 \end{pmatrix}.

Exercícios de Livros Relacionados