4.6.8 Construa , em que tildeF, o dual de (F é o tensor eletromagnético dado pela Equação (4.153).
Isso corresponde a
Essa transformação, às vezes denominada transformação dual, deixa invariantes as equações de Maxwell no vácuo ( F ).

Passo 1

O enunciado pede para construir o dual F^munu= 0 & -Ex & -Ey & -Ez Ex & 0 & -Bz & By Ey & Bz & 0 & -Bx Ez & -By & Bx & 0 do tensor eletromagnético dado por
O conteúdo envolve tensores antissimétricos e o símbolo de Levi-Civita em quatro dimensões.

Passo 2

Lembramos que a definição do dual é
tildeF^munu=12,epsilon^munurhosigma,Frhosigma,
onde é o símbolo completamente antissimétrico com e .

Passo 3

Calculamos primeiro as componentes mista-temporais ( tildeF^0i=12,epsilon^0,i,j,kFjk e Fjk=-epsilonjkpB^p, , tildeF^0i=-B^i ). Como
usa-se , obtendo-se

Passo 4

Agora as componentes puramente espaciais ( tildeF^ij=12,epsilon^i,j,0,kF0k, , tildeF^ij=-epsilon^ijkEk ). Tem-se
com e , levando a

Passo 5

Juntando tudo, o dual tildeF^munu= 0 & -Bx & -By & -Bz Bx & 0 & -Ez & Ey By & Ez & 0 & -Ex Bz & -Ey & Ex & 0 fica em forma matricial

Resposta

[
\tilde{F}{\mu\nu}=\frac{1}{2},\epsilon{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}

tildeF^munu=12,epsilon^munurhosigmaFrhosigma = 0 & -Bx & -By & -Bz Bx & 0 & -Ez & Ey By & Ez & 0 & -Ex Bz & -Ey & Ex & 0 .
]

Exercícios de Livros Relacionados