Uma corda AB de medida ell determina sobre uma circunferência um arco de 120^circ. Determine a distância do ponto B ao diâmetro AC desse círculo.

Passo 1

O enunciado dá uma corda de comprimento em um círculo, que subtende um arco de . Queremos achar a distância do ponto até o diâmetro . O conteúdo envolvido é geometria de círculo: usamos a relação entre comprimento de corda e raio, e depois cálculo de distância de um ponto a uma linha (diâmetro).

Passo 2

Para encontrar o raio ell = 2Rsin!l(tfractheta2r) do círculo, usamos a fórmula do comprimento de uma corda em função do raio e do ângulo central :
Aqui , logo .

Passo 3

Calculando a partir de ell = 2Rcdottfracraiz32=Rraiz3 Longrightarrow R = ellraiz3 , temos

Passo 4

Para achar a distância de B=l(Rcos120^circ,;Rsin120^circr) =l(-tfracR2,;tfracraiz32Rr) ao diâmetro |yB| = Rsin120^circ = Rcdottfracraiz32 , posicionamos o centro na origem de um plano cartesiano, com e . O ponto
O diâmetro é a reta , então a distância buscada é

Passo 5

Substituindo ellraiz3cdotraiz32 =ell2 na expressão da distância, obtém-se

Resposta

A distância do ponto ao diâmetro é .

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