Uma corda de medida ell determina sobre uma circunferência um arco de 120^circ. Determine a distância do ponto B ao diâmetro AC desse círculo.
Passo 1
O enunciado dá uma corda de comprimento em um círculo, que subtende um arco de . Queremos achar a distância do ponto até o diâmetro . O conteúdo envolvido é geometria de círculo: usamos a relação entre comprimento de corda e raio, e depois cálculo de distância de um ponto a uma linha (diâmetro).
Passo 2
Para encontrar o raio ell = 2Rsin!l(tfractheta2r) do círculo, usamos a fórmula do comprimento de uma corda em função do raio e do ângulo central :
Aqui , logo .
Passo 3
Calculando a partir de ell = 2Rcdottfracraiz32=Rraiz3 Longrightarrow R = ellraiz3 , temos
Passo 4
Para achar a distância de B=l(Rcos120^circ,;Rsin120^circr) =l(-tfracR2,;tfracraiz32Rr) ao diâmetro |yB| = Rsin120^circ = Rcdottfracraiz32 , posicionamos o centro na origem de um plano cartesiano, com e . O ponto
O diâmetro é a reta , então a distância buscada é
Passo 5
Substituindo ellraiz3cdotraiz32 =ell2 na expressão da distância, obtém-se
Resposta
A distância do ponto ao diâmetro é .
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 15.Exercícios - Ex. 657