Uma corda AB de medida ell determina sobre uma circunferência um arco de 120^circ. Determine a distância do ponto B ao diâmetro AC desse círculo.

Passo 1

O enunciado dá uma corda AB de comprimento ell em um círculo, que subtende um arco de 120^circ. Queremos achar a distância do ponto B até o diâmetro AC. O conteúdo envolvido é geometria de círculo: usamos a relação entre comprimento de corda e raio, e depois cálculo de distância de um ponto a uma linha (diâmetro).

Passo 2

Para encontrar o raio R do círculo, usamos a fórmula do comprimento de uma corda em função do raio e do ângulo central theta:
ell = 2Rsin!l(tfractheta2r)
Aqui theta=120^circ, logo ell = 2Rsin(60^circ).

Passo 3

Calculando a partir de sin(60^circ)=tfracraiz32, temos
ell = 2Rcdottfracraiz32=Rraiz3 Longrightarrow R = ellraiz3

Passo 4

Para achar a distância de B ao diâmetro AC, posicionamos o centro O na origem de um plano cartesiano, com A=(R,0) e C=(-R,0). O ponto
B=l(Rcos120^circ,;Rsin120^circr) =l(-tfracR2,;tfracraiz32Rr)
O diâmetro AC é a reta y=0, então a distância buscada é
|yB| = Rsin120^circ = Rcdottfracraiz32

Passo 5

Substituindo R=tfracellraiz3 na expressão da distância, obtém-se
ellraiz3cdotraiz32 =ell2

Resposta

A distância do ponto B ao diâmetro AC é ell2.

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