Prove que: “Em um triângulo obtusângulo, o quadrado do lado oposto ao ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados dos outros dois, mais duas vezes o produto de um desses lados pela projeção do outro sobre ele”.

Passo 1

Resumindo o enunciado: seja o triângulo ABC com ang<= A obtuso. Precisamos provar que o quadrado do lado oposto ao ângulo obtuso, isto é,
BC^2,
é dado por
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2,ABcdotl(projeção de AC sobre ABr) çã
Usaremos teorema de Pitágoras em dois triângulos retângulos formados pela altura de C sobre a reta AB e a noção de projeção ortogonal.

Passo 2

Construa a perpendicular a AB por C, que intercepta a reta AB no ponto D. Como ang<= A>90^circ, o ponto D fica no prolongamento de AB além de A. Temos, portanto,
CDperp AB

Passo 3

No triângulo retângulo ACD, pelo teorema de Pitágoras,
AC^2 = AD^2 + CD^2

Passo 4

No triângulo retângulo BCD, também pelo teorema de Pitágoras,
BC^2 = BD^2 + CD^2

Passo 5

Observe que, usando comprimento dirigido sobre AB,
BD = BA + AD

Passo 6

Substituindo CD^2 = AC^2 - AD^2 (Passo 3) em BC^2 = BD^2 + CD^2 (Passo 4) e usando BD = AB + AD, obtemos:
BC^2 = (AB + AD)^2 + l(AC^2 - AD^2r) = AB^2 + 2,ABcdot AD + AD^2 + AC^2 - AD^2 = AB^2 + AC^2 + 2,ABcdot AD

Passo 7

Por definição, o segmento dirigido AD é justamente a projeção de AC sobre AB. Assim concluímos
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2,ABcdotl(projeção de AC sobre ABr), çã
que é o que se queria demonstrar.

Resposta

BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2,ABcdotl(projeção de AC sobre ABr) çã

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