Prove que: “Em um triângulo obtusângulo, o quadrado do lado oposto ao ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados dos outros dois, mais duas vezes o produto de um desses lados pela projeção do outro sobre ele”.
Passo 1
Resumindo o enunciado: seja o triângulo
com
obtuso. Precisamos provar que o quadrado do lado oposto ao ângulo obtuso, isto é,
é dado por
Usaremos teorema de Pitágoras em dois triângulos retângulos formados pela altura de
sobre a reta
e a noção de projeção ortogonal.
Passo 2
Construa a perpendicular a
por
, que intercepta a reta
no ponto
. Como
, o ponto
fica no prolongamento de
além de
. Temos, portanto,
Passo 3
No triângulo retângulo
, pelo teorema de Pitágoras,
Passo 4
No triângulo retângulo
, também pelo teorema de Pitágoras,
Passo 5
Observe que, usando comprimento dirigido sobre
,
Passo 6
Substituindo
(Passo 3) em
(Passo 4) e usando
, obtemos:
Passo 7
Por definição, o segmento dirigido
é justamente a projeção de
sobre
. Assim concluímos
que é o que se queria demonstrar.