Se
, provar que sen
sen
é um polinómio em
, e determinar o seu grau.
Passo 1
Resumindo: queremos mostrar que, se
, então
pode ser escrito como polinómio em
. O conteúdo que vamos usar inclui identidades trigonométricas (diferença de cossenos) e o facto de que
é polinómio em
de grau
(polinómios de Chebyshev).
Passo 2
Usamos a identidade de diferença de cossenos: para quaisquer ângulos
vale
Tomando
e
obtemos
Logo
Passo 3
Mostramos por indução em
que
é polinómio em
de grau
.
Base:
(grau 0) e
(grau 1).
Passo indutivo: usando
Base:
Passo indutivo: usando
se
é grau
e
é grau
, então
é grau
. Assim, para todo
,
onde
é polinómio de grau
.
Passo 4
Da expressão do Passo 2,
Cada
tem grau
e
tem grau
. A diferença mantém o termo de maior grau, logo
é polinómio em
de grau
.