Se x=cos theta, provar que sen theta sen n theta é um polinómio em x, e determinar o seu grau.

Passo 1

Resumindo: queremos mostrar que, se x=costheta, então
sintheta;sin(ntheta)
pode ser escrito como polinómio em x. O conteúdo que vamos usar inclui identidades trigonométricas (diferença de cossenos) e o facto de que cos(ktheta) é polinómio em costheta de grau k (polinómios de Chebyshev).

Passo 2

Usamos a identidade de diferença de cossenos: para quaisquer ângulos A,B vale
cos A-cos B=-2sin!l(tfracA+B2r),sin!l(tfracA-B2r)
Tomando A=(n+1)theta e B=(n-1)theta obtemos
cosl((n-1)thetar)-cosl((n+1)thetar) =2,sin(ntheta),sintheta
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sintheta,sin(ntheta) =cosl((n-1)thetar)-cosl((n+1)thetar)2

Passo 3

Mostramos por indução em k que cos(ktheta) é polinómio em x=costheta de grau k.
Base:
cos(0theta)=1 (grau 0) e cos(1theta)=x (grau 1).
Passo indutivo: usando
cosl((k+1)thetar)=2costheta,cos(ktheta)-cosl((k-1)thetar),
se cos(ktheta) é grau k e cos((k-1)theta) é grau k-1, então cos((k+1)theta) é grau k+1. Assim, para todo m,
cos(mtheta)=Tm(x) onde Tm é polinómio de grau m.

Passo 4

Da expressão do Passo 2,
sintheta,sin(ntheta) =tfrac12l[T,n-1(x)-T,n+1(x)r]
Cada Tn-1(x) tem grau n-1 e Tn+1(x) tem grau n+1. A diferença mantém o termo de maior grau, logo sintheta,sin(ntheta) é polinómio em x de grau max(n-1,n+1)=n+1.

Resposta

sintheta,sin(ntheta) é um polinómio em x=costheta de grau n+1.

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