(Covest-2002) Sobre o natural 2^30-1 é incorreto afirmar que ele é:
a) divisível por 2^15-1
b) divisível por 2^20+2^10+1
c) divisível por 2^15+1
d) divisível por 2^10-1
e) um número primo

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das afirmações sobre o número ,2^30-1 é incorreta. Vamos usar fatorações clássicas de potências para testar cada divisibilidade e ver se ele é primo.

Passo 2

Usando a diferença de quadrados, escrevemos
2^30-1 = (2^15)^2 - 1^2 = (2^15-1)(2^15+1)
Isso mostra que ,2^30-1 é divisível por ,2^15-1 (letra a) e por ,2^15+1 (letra c).

Passo 3

Usando a diferença de cubos com a=2^10, temos
2^30-1 = a^3 - 1 = (a-1)(a^2 + a + 1) = (2^10-1)l(2^20+2^10+1r)
Isso mostra a divisibilidade por ,2^10-1 (letra d) e por ,2^20+2^10+1 (letra b).

Passo 4

Como ,2^30-1 possui fatores não triviais, ele não é primo. Logo, a afirmação e) é a única incorreta.

Resposta

(e)

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