(Mackenzie-2002) Se, na igualdade 30^n=4 x, n é um número natural positivo e x um número ímpar, o produto n.x vale:
a) 450
b) 175
c) 275
d) 360
e) 130

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade 30^n = 4,x, onde n é um número natural positivo e x é um número ímpar. O conteúdo aqui é fatoração em primos e condições de integridade e paridade. Para resolver, vamos escrever 30^n em fatores primos e impor que x seja inteiro e ímpar.

Passo 2

Fatorando 30 em primos, temos
30 = 2 cdot 3 cdot 5,
então
30^n = 2^n cdot 3^n cdot 5^n

Passo 3

Da igualdade 30^n = 4,x segue
x = 30^n4 = 2^n cdot 3^n cdot 5^n2^2 = 2^,n-2 cdot 3^n cdot 5^n
Para que x seja inteiro, precisamos de n-2 >= 0, ou seja n >= 2.

Passo 4

Além de inteiro, x deve ser ímpar. Isso significa que sua fatoração não pode conter nenhum fator 2, logo precisamos de
n-2 = 0 Longrightarrow n = 2

Passo 5

Substituindo n=2 em x = 2^,n-2cdot3^ncdot5^n, obtemos
x = 2^0cdot3^2cdot5^2 = 1cdot9cdot25 = 225

Passo 6

O produto pedido é
n cdot x = 2 times 225 = 450

Resposta

450

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