Crescimento bacteriano O número de bactérias numa cultura em placa de Petri após t horas é
B=100 e^{0,693 t} .
(a) Qual o número inicial de bactérias presentes?
(b) Quantas bactérias estarão presentes em 6 horas?
(c) Quando o número de bactérias será 200? Estime o tempo de duplicação das bactérias.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo de crescimento exponencial de uma população de bactérias em função do tempo t (em horas):
B(t)=100\,e^{0,693\,t}.
Precisamos:
– (a) determinar o valor inicial B(0);
– (b) calcular B(6);
– (c) achar o tempo t tal que B(t)=200 e, a partir daí, estimar o tempo de duplicação da cultura, usando propriedades de exponencial e logaritmo natural.

Passo 2

Para achar o número inicial de bactérias basta avaliar em t=0. Como e^{0}=1, temos
B(0)=100\,e^{0,693\cdot 0}=100\cdot 1=100.

Passo 3

Para saber quantas bactérias há em 6 horas, calculamos
B(6)=100\,e^{0,693\cdot 6}.
Note que 0,693\approx\ln(2), logo 0,693\cdot6\approx6\ln(2)=\ln(2^6)=\ln(64). Assim
B(6)=100\cdot 64=6400.

Passo 4

Para encontrar o tempo em que B(t)=200, resolvemos
100\,e^{0,693\,t}=200
e^{0,693\,t}=2
0,693\,t=\ln(2)\approx0,693
t=\frac{\ln(2)}{0,693}=1\\ \text{hora}.

Passo 5

O tempo de duplicação T_d em um modelo B= B_0\,e^{k t} é dado por
T_d=\frac{\ln(2)}{k}.
Aqui k=0,693, então
T_d=\frac{\ln(2)}{0,693}=1\\ \text{hora}.

Resposta

(a) 100
(b) 6400
(c) t=1 hora; tempo de duplicação T_d=1 hora.

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