CUSTO DE DISTRIBUIÇÃO O número W de homens-horas necessários para distribuir catálogos telefônicos a x \% das residências de certa cidade pode ser modelado pela função
W(x)=\frac{200 x}{100-x}
a. Desenhe a curva de W(x).
b. Suponha que apenas 1.500 homens-horas estejam disponíveis para distribuir catálogos. Que percentagem dos domicílios não receberá os catálogos?

Passo 1

O enunciado fornece a função
W(x)=\frac{200\,x}{100 - x}
onde x é a percentagem de domicílios atendidos e W(x) o total de homens-horas necessários. Vamos (a) esboçar o gráfico de uma função racional e (b) resolver a equação W(x)=1500 para depois determinar a fração não atendida.

Passo 2

Para esboçar a curva de W(x):
– Domínio: 0 \le x < 100 (não faz sentido x\ge100 pois o denominador seria nulo).
– Intercepto em x=0:
W(0)=0.
– Assíntota vertical em
x=100,
pois à medida que x\to100^-, W(x)\to+\infty.
– Monotonicidade: a derivada
W'(x) = \frac{200(100 - x)+200x}{(100 - x)^2} =200\frac{100}{(100 - x)^2}>0
mostra que W é estritamente crescente.
– Curvatura: a segunda derivada também é positiva, indicando concavidade para cima.
Com isso, o esboço é uma curva que parte de (0,0), cresce suavemente e dispara para +\infty ao se aproximar de x=100.

Passo 3

Para saber até que x comporta 1 500 homens-horas, resolvemos
\frac{200\,x}{100-x}=1500.
Multiplicando ambos os lados por (100 - x):
200\,x =1500(100 - x) \;\Longrightarrow\; 200\,x =150000 -1500\,x \;\Longrightarrow\; 1700\,x =150000 \;\Longrightarrow\; x=\frac{150000}{1700}=\frac{1500}{17}\approx88,24.

Passo 4

A percentagem de domicílios não atendidos é
100 - x =100 - \frac{1500}{17} =\frac{1700-1500}{17} =\frac{200}{17}\approx11,76.

Resposta

Aproximadamente 11,76\% dos domicílios não receberá os catálogos.

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