Identifique as assíntotas verticais e horizontais da curva de cada função.
g(x)=\frac{5 x^{2}}{x^{2}-3 x-4}

Passo 1

O enunciado pede para achar as assíntotas verticais e horizontais da função
g(x)=\frac{5x^{2}}{x^{2}-3x-4}.
O conteúdo aqui é análise de funções racionais: as assíntotas verticais vêm das raízes do denominador (quando o numerador não anula ao mesmo tempo) e a assíntota horizontal vem do comportamento de g(x) quando \lvert x\rvert\to\infty, que depende dos graus do numerador e do denominador.

Passo 2

Para encontrar as assíntotas verticais, resolvemos o denominador igual a zero:
x^{2}-3x-4=0.
Usando a fórmula de Bhaskara, temos
x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot1} =\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2} =\frac{3\pm5}{2},
logo as raízes são
x=4 \quad\text{e}\quad x=-1.
Verificamos que o numerador 5x^{2} em x=4 e x=-1 não se anula (fica 5\cdot16\neq0 e 5\cdot1\neq0). Portanto, existem assíntotas verticais em
x=4 \quad\text{e}\quad x=-1.

Passo 3

Para achar a assíntota horizontal, comparamos o grau do numerador ( 2) com o do denominador ( 2). Como são iguais, a assíntota horizontal é a reta
y=\frac{\text{coeficiente líder do numerador}}{\text{coeficiente líder do denominador}} =\frac{5}{1} =5.íí

Resposta

Assíntotas verticais: x=-1 e x=4.
Assíntota horizontal: y=5.

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