Determine os valores das constantes A e B para que a curva da função
f(x)=\frac{A x+2}{8-B x}
possua uma assíntota vertical para x=4 e uma assíntota horizontal para y=-1. Plote f(x) para esses valores de A e B.

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
f(x)=\frac{A x+2}{8-B x}
e pede que ela tenha
  • uma assíntota vertical em x=4,
  • uma assíntota horizontal em y=-1.
Para resolver, vamos usar:
1. Assíntota vertical em x=c significa que o denominador de f(x) se anula em x=c.
2. Assíntota horizontal em y=L para função racional de mesmo grau no numerador e denominador é dada pelo quociente dos coeficientes líderes, isto é
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{\text{coef.\\ de }x\text{ no numerador}}{\text{coef.\\ de }x\text{ no denominador}}.

Passo 2

Para ter assíntota vertical em x=4, o denominador deve anular-se em x=4:
8 - B\cdot 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{8}{4} = 2.

Passo 3

Com B=2, o grau do numerador e do denominador é 1, logo
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{A x+2}{8-2x} =\frac{A}{-2} =-\frac{A}{2}.
Queremos essa assíntota horizontal igual a -1, logo
-\frac{A}{2} = -1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{A}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad A = 2.

Passo 4

Portanto, os valores são
A=2, \quad B=2,
e a função fica
f(x)=\frac{2x+2}{8-2x}.
Confirmamos:
  • Assíntota vertical em 8-2x=0\Rightarrow x=4.
  • Assíntota horizontal em \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-\tfrac{2}{2}=-1.

Passo 5

Segue um exemplo de código em Python usando Matplotlib para visualizar o gráfico de f(x) com essas constantes. Note que dividimos o domínio em duas partes para evitar x=4:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

A \(=2\)
B \(=2\)
f \(=\) lambda x: (A*x \(+2\))/(\(8\) - B*x)

x\(1=\) np.linspace(-\(10\), \(3.9\), \(400\))
x\(2=\) np.linspace(\(4.1\), \(10\), \(400\))

plt.plot(x\(1\), f(x\(1\)), 'b', label\(=\)'f(x)')
plt.plot(x\(2\), f(x\(2\)), 'b')
plt.axvline(\(4\), color\(=\)'r', linestyle\(=\)'--', label\(=\)'x\(=4\)')
plt.axhline(-\(1\), color\(=\)'r', linestyle\(=\)'--', label\(=\)'y\(=\)-\(1\)')
plt.xlim(-\(10\), \(10\))
plt.ylim(-\(10\), \(10\))
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Gráfico de f(x) \(=\) (\(2\)x\(+2\))/(\(8\)-\(2\)x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
O gráfico exibirá claramente a assíntota vertical x=4 e a horizontal y=-1.

Resposta

A = 2,\quad B = 2.

Exercícios de Livros Relacionados