É dada uma fórmula para o n-ésimo termo de uma sequência a_{1}, a_{2}, \ldots.
(a) Escreva a sequência usando a notação de três pontinhos, explicitando os primeiros quatro termos.
(b) Calcule o 100^{\circ} termo da sequência.
a_{n}=\sqrt{\frac{n}{n+1}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência (a_n) cujo termo geral é
a_n = \sqrt{\frac{n}{n+1}}
e pede duas coisas:
(a) escrever a sequência em notação de três pontinhos mostrando os quatro primeiros termos;
(b) calcular o 100^{\circ} termo, ou seja, a_{100}.

Passo 2

Para obter os quatro primeiros termos basta substituir n=1,2,3,4 na fórmula
a_n = \sqrt{\frac{n}{n+1}}.
Isso dá
a_1 = \sqrt{\frac{1}{2}},\quad a_2 = \sqrt{\frac{2}{3}},\quad a_3 = \sqrt{\frac{3}{4}},\quad a_4 = \sqrt{\frac{4}{5}}.
Então a sequência em notação de três pontinhos é
\sqrt{\frac{1}{2}},\;\sqrt{\frac{2}{3}},\;\sqrt{\frac{3}{4}},\;\sqrt{\frac{4}{5}},\;\dots

Passo 3

Para calcular o 100^{\circ} termo basta pôr n=100 na fórmula:
a_{100} = \sqrt{\frac{100}{100+1}} = \sqrt{\frac{100}{101}}.

Resposta

(a) \sqrt{\frac{1}{2}},\;\sqrt{\frac{2}{3}},\;\sqrt{\frac{3}{4}},\;\sqrt{\frac{4}{5}},\;\dots
(b) \sqrt{\frac{100}{101}}

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