Dada a função de demanda p=20-2 x e a função custo C=5+x :
Obtenha o valor de x que maximiza o lucro.

Passo 1

O enunciado dá a função de demanda p = 20 - 2x e o custo C = 5 + x. Queremos maximizar o lucro em função da quantidade vendida x. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas: primeiro expressar a receita, depois o lucro, em seguida derivar o lucro e igualar a zero para achar o ponto crítico.

Passo 2

A receita R(x) é o preço vezes a quantidade vendida. Substituindo p = 20 - 2x em R(x)=pcdot x, temos
R(x) = (20 - 2x),x = 20x - 2x^2

Passo 3

O lucro pi(x) é a receita menos o custo. Assim,
pi(x) = R(x) - C(x) = l(20x - 2x^2r) - l(5 + xr) = -2x^2 + 19x - 5

Passo 4

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada primeira e igualamos a zero:
pi'(x) = ddxl(-2x^2 + 19x - 5r) = -4x + 19
Igualando a zero,
-4x + 19 = 0 Longrightarrow x = 194

Passo 5

Verificamos a segunda derivada para confirmar se é máximo:
pi''(x) = ddx(-4x + 19) = -4 < 0,
portanto pi(x) tem um ponto de máximo em x = tfrac194.

Resposta

x = dfrac194

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