Dada a função de demanda p=40-2 x, obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita.

Passo 1

O enunciado dá a função de demanda ;p(x)=40-2x, em que p é o preço e x a quantidade vendida. Queremos encontrar o preço que maximiza a receita total.
Conteúdo envolvido: formação da função receita e otimização de função quadrática (derivada e vértice).

Passo 2

A receita total R é preço vezes quantidade, ou seja
R(x)=xcdot p(x)=x,(40-2x)=40x-2x^2

Passo 3

Para achar o máximo, calculamos a derivada de R(x) e igualamos a zero, depois confirmamos concavidade:
R'(x)=ddx(40x-2x^2)=40-4x,
R'(x)=0Longrightarrow 40-4x=0Longrightarrow x=10
Além disso,
R''(x)=ddx(40-4x)=-4<0,
logo é um máximo em x=10.

Passo 4

O preço ótimo é
p(10)=40-2cdot10=40-20=20

Resposta

O preço que maximiza a receita é 20.

Exercícios de Livros Relacionados