Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
f(x)=-2 x^3

Passo 1

O enunciado pede pra achar onde a função
f(x)=-2x^3
é crescente ou decrescente e se há pontos de máximo ou mínimo. Para isso vamos usar o teste da primeira derivada: calcular f'(x), estudar seu sinal e, depois, ver se há pontos críticos que mudem o sinal de f'.

Passo 2

Calculando a primeira derivada:
f'(x)=ddxl(-2x^3r)=-2cdot3x^2=-6x^2

Passo 3

Analisando o sinal de f'(x)=-6x^2:
  • Como x^2>=0 para todo x, temos -6x^2<=0 sempre.
  • Ocorre igualdade f'(x)=0 somente em x=0.
  • Para xneq0, x^2>0 e logo f'(x)<0.

Passo 4

Daqui segue que:
  • Não há intervalo onde f'(x)>0, ou seja, não existe região de crescimento.
  • Para todo xneq0, f'(x)<0, então a função é estritamente decrescente em (-infty,0) e em (0,infty).

Passo 5

O único ponto crítico é x=0, mas como f' permanece negativa de ambos os lados de zero, não há troca de sinal em x=0. Portanto não ocorre ponto de máximo nem de mínimo local (é um ponto de inflexão).

Resposta

Crescimento: nenhum.
Decrescimento: (-infty,0) e (0,infty).
Pontos extremos: não há máximo nem mínimo.

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