Dada as funções seguintes, classifique-as em:
I) injetora
III) bijetora
II) sobrejetora
IV) não é injetora nem sobrejetora
p: R Q
p(x)= 2 x & se x in Q [x] & se x in(R-Q)

Passo 1

O enunciado define a função
Queremos classificar (p] quanto a injetividade e sobrejetividade, usando as definições de cada uma.

Passo 2

Para testar injetividade, lembramos que p é injetora se, sempre que x1neq x2, tivermos p(x1)neq p(x2). Basta um contraexemplo. Tomemos
x1=1,2e x2=1,7,
ambos irracionais. Então
p(x1)=lfloor 1,2rfloor=1 e p(x2)=lfloor 1,7rfloor=1,
logo x1neq x2 e p(x1)=p(x2). Assim, p não é injetora.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, lembramos que p é sobrejetora se, para todo qinQ, existe xinR com p(x)=q. Seja qinQ arbitrário. Basta escolher
x=q2,
que é racional, pois Q é fechado sob divisão por 2neq0. Então
pl(tfracq2r)=2cdotq2=q
Logo toda qinQ tem um contra-imagem, e p é sobrejetora.

Passo 4

Como p não é injetora mas é sobrejetora, ela se enquadra na opção II.

Resposta

II) sobrejetora

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