a) Dada a série
, se
, prove que
é divergente
não é convergente).
b) Mostre que são divergentes:
i)
ii)
iii)
b) Mostre que são divergentes:
i)
ii)
iii)
Passo 1
O enunciado trata do teste do termo geral para séries numéricas. Na parte (a) queremos provar que, se
, então a série
diverge. Na parte (b) aplicaremos esse resultado a três séries concretas para mostrar que cada uma delas é divergente.
Passo 2
Lembrando o teorema do termo geral: se
converge com soma
, então os somatórios parciais
satisfazem
. Daí
ou seja,
. A contrapartida lógica (contrapositiva) é: se
ou não existe, então
não pode convergir, isto é, diverge.
Passo 3
Para a série (i) tomamos
Calculamos
Pelo resultado do Passo 2,
diverge.
Passo 4
Na série (ii) temos
cujo limite não existe (os termos alternam entre
e
), mas certamente não tende a zero. Logo, por não satisfazer
, a série
diverge.
Passo 5
Na série (iii) definimos
e
Logo, novamente pelo Passo 2,
diverge.
Resposta
a) Foi provado que se
então
diverge.
b) As três séries são divergentes.
b) As três séries são divergentes.