a) Dada a série sumn=1^infty an, se lim an neq 0, prove que sumn=1^infty an é divergente (Long<=ftrightarrow não é convergente).
b) Mostre que são divergentes:
i) sumn=1^infty n^2+5n^2
ii) sumn=1^infty(-1)^n+1 cdot 5
iii) sumn=1^infty n+1n+2

Passo 1

O enunciado trata do teste do termo geral para séries numéricas. Na parte (a) queremos provar que, se limntoinftyanneq0, então a série sumn=1^inftyan diverge. Na parte (b) aplicaremos esse resultado a três séries concretas para mostrar que cada uma delas é divergente.

Passo 2

Lembrando o teorema do termo geral: se sumn=1^inftyan converge com soma S, então os somatórios parciais SN=sumn=1^Nan satisfazem limNtoinftySN=S. Daí
aN+1=SN+1-SNlongrightarrow S-S=0,
ou seja, limntoinftyan=0. A contrapartida lógica (contrapositiva) é: se limntoinftyanneq0 ou não existe, então sumn=1^inftyan não pode convergir, isto é, diverge.

Passo 3

Para a série (i) tomamos
an=n^2+5n^2=1+5n^2
Calculamos
limntoinftyan =limntoinftyl(1+5n^2r)=1neq0
Pelo resultado do Passo 2, sumn=1^inftyn^2+5n^2 diverge.

Passo 4

Na série (ii) temos
an=(-1)^n+1cdot5,
cujo limite não existe (os termos alternam entre 5 e -5), mas certamente não tende a zero. Logo, por não satisfazer lim an=0, a série sumn=1^infty(-1)^n+1cdot5 diverge.

Passo 5

Na série (iii) definimos
an=n+1n+2=1-1n+2,
e
limntoinftyan =limntoinftyl(1-1n+2r)=1neq0
Logo, novamente pelo Passo 2, sumn=1^inftyn+1n+2 diverge.

Resposta

a) Foi provado que se lim anneq0 então sum an diverge.
b) As três séries são divergentes.

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