Dada uma sequência em , se e , então chama-se subsequência de ( ).
a) Se , prove que toda subsequência de também converge para a.
b) Dé exemplos de seqüências que admitem subseqüências convergentes mas que elas próprias näo convergem.
c) Seja ( ) uma seqüência em . Se as subseqüências ( ) e convergem para , mostre que .
Passo 1
O enunciado define subsequência de e pede três coisas sobre convergência de subsequências e da sequência original. O conteúdo é limites de sequências em e o critério –. Vamos usar a definição de e reproduzi-la para subsequências, dar exemplos de sequências sem limite mas com subsequências convergentes, e combinar dois resultados de subsequências para mostrar a convergência da sequência inteira.
Passo 2
Prova de (a): Suponha . Então, dado , existe tal que, para todo ,
Agora considere qualquer subsequência com . Como , ao escolher temos para todo que e portanto
Isto mostra limktoinftybk = a.
Passo 3
Exemplos para (b):
Tome an = (-1)^n. A sequência não converge porque oscila entre -1 e 1, mas a subsequência dos índices pares l(a2kr)=1 converge a 1 e a dos ímpares l(a2k+1r)=-1 converge a -1.
Outro exemplo clássico é
an = sinl(npi/2r),
que também não converge mas admite subsequências constantes (por exemplo, sin(2kpi)=0, sin(pi/2+2kpi)=1).
Passo 4
Prova de (c): Suponha que
limktoinftya2k-1 = a e limktoinftya2k = a
Dado varepsilon>0, existe N1 tal que |a2k-1-a|<varepsilon para todo k>= N1, e N2 tal que |a2k-a|<varepsilon para todo k>= N2. Seja N=max2N1-1,,2N2. Então, para todo n>= N, ou n é par (logo n=2k>=2N2) ou ímpar (logo n=2k-1>=2N1-1), garantindo |an - a|<varepsilon. Assim limntoinftyan=a.
Resposta
(a) Usando o critério varepsilon–N vemos que todo termo da subsequência fica dentro de varepsilon de a a partir de um mesmo N, logo lim bk=a.
(b) Por exemplo, an=(-1)^n não converge, mas as subsequências pares e ímpares convergem a 1 e -1.
(c) Como para n grande seja n par ou ímpar já temos |an-a|<varepsilon, então limntoinftyan=a.
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 470