Dada uma sequência
(an) em I R, se r1, r2, r3, ldots subset N^* e
r1<r2<r3<ldots, então (b1, b2, b3, ldots)=(ar1, ar2, ar9, ldots) chama-se subsequência de (
an ).
a) Se an a, prove que toda subsequência de (an) também converge para a.
b) Dé exemplos de seqüências que admitem subseqüências convergentes mas que elas próprias näo convergem.
c) Seja ( an ) uma seqüência em R. Se as subseqüências ( a1, a3, a5, ldots ) e (a2, a4, a6, ldots) convergem para a, mostre que lim an=a.

Passo 1

O enunciado define subsequência de l(anr) e pede três coisas sobre convergência de subsequências e da sequência original. O conteúdo é limites de sequências em R e o critério varepsilon N. Vamos usar a definição de limntoinftyan=a e reproduzi-la para subsequências, dar exemplos de sequências sem limite mas com subsequências convergentes, e combinar dois resultados de subsequências para mostrar a convergência da sequência inteira.

Passo 2

Prova de (a): Suponha limntoinftyan=a. Então, dado varepsilon>0, existe NinN tal que, para todo n>= N,
|an - a| < varepsilon
Agora considere qualquer subsequência bk = ark com rkuparrow. Como rk>= k, ao escolher K = N temos para todo k>= K que rk>= N e portanto
|bk - a| = l|ark - ar| < varepsilon
Isto mostra limktoinftybk = a.

Passo 3

Exemplos para (b):
  1. Tome an = (-1)^n. A sequência não converge porque oscila entre -1 e 1, mas a subsequência dos índices pares l(a2kr)=1 converge a 1 e a dos ímpares l(a2k+1r)=-1 converge a -1.
  2. Outro exemplo clássico é
an = sinl(npi/2r),
que também não converge mas admite subsequências constantes (por exemplo, sin(2kpi)=0, sin(pi/2+2kpi)=1).

Passo 4

Prova de (c): Suponha que
limktoinftya2k-1 = a e limktoinftya2k = a
Dado varepsilon>0, existe N1 tal que |a2k-1-a|<varepsilon para todo k>= N1, e N2 tal que |a2k-a|<varepsilon para todo k>= N2. Seja N=max2N1-1,,2N2. Então, para todo n>= N, ou n é par (logo n=2k>=2N2) ou ímpar (logo n=2k-1>=2N1-1), garantindo |an - a|<varepsilon. Assim limntoinftyan=a.

Resposta

(a) Usando o critério varepsilon N vemos que todo termo da subsequência fica dentro de varepsilon de a a partir de um mesmo N, logo lim bk=a.
(b) Por exemplo, an=(-1)^n não converge, mas as subsequências pares e ímpares convergem a 1 e -1.
(c) Como para n grande seja n par ou ímpar já temos |an-a|<varepsilon, então limntoinftyan=a.

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