Seja A um subconjunto não vazio de R. Um elemento k in R se diz cota inferior de A se k <= x, para todo x in A. Um subconjunto A subset R, A neq varnothing, se diz limitado inferiormente se admite cotas inferiores ern IR.
Se A neq varnothing é um subconjunto de IR limitado inferiormente, prove que o conjunto das cotas inferiores de A tem máximo, ou seja, que existe uma cota inferior que é maior que todas as outras, diferentes dela mesma. (O máximo das cotas inferiores é chamado ínfimo de A e é indicado por inf A.)
Sugestäo: Mostre que -A=-xx in A é limitado superiormente e que se s indica o supremo de A, então -s=inf A.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se AsubsetR é não vazio e limitado inferiormente, então o conjunto
L = ,kinR:k<= x para todo xin A
tem máximo. O conteúdo envolvido é a definição de ínfimo e o axioma da completude de R, que garante existência de supremos em conjuntos não vazios e limitados superiormente.

Passo 2

Defina o conjunto
-,A = -x : xin A
Como Aneqvarnothing, temos -Aneqvarnothing. Se m é uma cota inferior de A, então m<= x para todo xin A, ou seja, -x<= -m para todo xin A. Isso mostra que -m é uma cota superior de -A, logo -A é limitado superiormente.

Passo 3

Pelo axioma da completude de R, o conjunto -A não vazio e limitado superiormente admite supremo. Denote
s = sup(-A)

Passo 4

Vamos mostrar que -s é cota inferior de A. Seja xin A. Então -xin -A, logo
- x ;<=; s Longrightarrow -,s ;<=; x
Como isso vale para todo xin A, segue que -s é cota inferior de A.

Passo 5

Agora provamos que -s é a maior cota inferior. Seja k qualquer cota inferior de A. Então k<= x para todo xin A, o que implica
-,x ;<=; -,k para todo xin A,
ou seja, -k é cota superior de -A. Da definição de supremo temos -k>= s, isto é, k<= -s. Portanto, nenhum k excede -s.

Resposta

O conjunto das cotas inferiores de A tem máximo, que é
inf A = -,sup(-A)

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