Seja
um subconjunto não vazio de
. Um elemento
se diz cota inferior de
se
, para todo
. Um subconjunto
,
, se diz limitado inferiormente se admite cotas inferiores ern IR.
Se
é um subconjunto de IR limitado inferiormente, prove que o conjunto das cotas inferiores de A tem máximo, ou seja, que existe uma cota inferior que é maior que todas as outras, diferentes dela mesma. (O máximo das cotas inferiores é chamado ínfimo de A e é indicado por
.)
Sugestäo: Mostre que
é limitado superiormente e que se
indica o supremo de
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é não vazio e limitado inferiormente, então o conjunto
tem máximo. O conteúdo envolvido é a definição de ínfimo e o axioma da completude de
, que garante existência de supremos em conjuntos não vazios e limitados superiormente.
Passo 2
Defina o conjunto
Como
, temos
. Se
é uma cota inferior de
, então
para todo
, ou seja,
para todo
. Isso mostra que
é uma cota superior de
, logo
é limitado superiormente.
Passo 3
Pelo axioma da completude de
, o conjunto
não vazio e limitado superiormente admite supremo. Denote
Passo 4
Vamos mostrar que
é cota inferior de
. Seja
. Então
, logo
Como isso vale para todo
, segue que
é cota inferior de
.
Passo 5
Agora provamos que
é a maior cota inferior. Seja
qualquer cota inferior de
. Então
para todo
, o que implica
ou seja,
é cota superior de
. Da definição de supremo temos
, isto é,
. Portanto, nenhum
excede
.
Resposta
O conjunto das cotas inferiores de
tem máximo, que é