Seja sumn=1^infty bn uma série de termos positivos que sabemos ser divergente. Se ( an ) é uma seqüência em IR tal que an >= bn, para todo índice n, prove que sumn=1^infty an também é divergente.
Resolução: Se sumn=1^infty an fosse convergente, pela proposição 8 a série sumn=1^infty bn também teria que ser.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas séries de termos não-negativos, sumn=1^inftybn e sumn=1^inftyan, com
bn>=0, an>= bnforall n,
sabendo que sum bn diverge. Vamos usar o teste de comparação para séries de termos não-negativos: se uma série maior converge, então qualquer série com termos menores também converge.

Passo 2

Suponha, por contradição, que
sumn=1^inftyan
seja convergente, digamos com soma finita A.

Passo 3

Como para todo n se tem
0 ;<=; bn ;<=; an,
o teste de comparação afirma que, se sum an converge, então sum bn também converge.

Passo 4

Aplicando esse teste, concluímos que sum bn converge, o que entra em contradição com a hipótese inicial de que sum bn diverge.

Resposta

Logo, a série sumn=1^inftyan não pode ser convergente, isto é, ela diverge.

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