Seja
uma série de termos positivos que sabemos ser divergente. Se (
) é uma seqüência em IR tal que
, para todo índice
, prove que
também é divergente.
Resolução: Se
fosse convergente, pela proposição 8 a série
também teria que ser.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas séries de termos não-negativos,
e
, com
sabendo que
diverge. Vamos usar o teste de comparação para séries de termos não-negativos: se uma série maior converge, então qualquer série com termos menores também converge.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
seja convergente, digamos com soma finita
.
Passo 3
Como para todo
se tem
o teste de comparação afirma que, se
converge, então
também converge.
Passo 4
Aplicando esse teste, concluímos que
converge, o que entra em contradição com a hipótese inicial de que
diverge.
Resposta
Logo, a série
não pode ser convergente, isto é, ela diverge.