Dadas as funções f e g, determine a função inversa de g circ f :
f: R+ R+ e g: R+ C=x in R mid x <= 4
f(x)=x^2 g(x)=4-x

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
fcolon R+toR+ com f(x)=x^2
e
gcolon R+to C onde C=xinRmid x<=4 e g(x)=4-x.
A missão é achar a inversa de gcirc f. Vamos precisar lembrar que (gcirc f)(x)=gl(f(x)r) e que, se essa função for bijetora, sua inversa satisfaz
y = (gcirc f)(x) Longrightarrow x = (gcirc f)^-1(y)

Passo 2

Calculemos a composição:
(gcirc f)(x) ;=; gl(f(x)r) ;=; gl(x^2r) ;=;4 - x^2
O domínio natural é x>=0, e a imagem de 4 - x^2 para xinR+ é todo o conjunto (-infty,4], que coincide com C. Além disso, como
ddxl(4-x^2r) = -2x < 0para x>0,
essa função é estritamente decrescente em R+, logo é bijetora de R+ em C. Assim, faz sentido falar na inversa.

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos
y = 4 - x^2,
onde y<=4. Isolamos x:
x^2 = 4 - y Longrightarrow x = pmraiz4 - y
Como o domínio original é R+, escolhemos o sinal positivo. Além disso, a condição y<=4 garante que 4 - y>=0 e o radical é bem definido.

Resposta

A inversa de gcirc f é
(gcirc f)^-1(y) = raiz4 - y,
com domínio de (gcirc f)^-1 sendo yin(-infty,4] (ou seja, y<=4).

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