Considere a função
tal que
.
Calcule a soma dos números associados à(s) alternativa(s) correta(s).
- A função
não é sobrejetiva.
- A função
é injetiva.
- A função
possui uma inversa.
-
se, e somente se,
.
-
é uma função par, isto é,
.
-
é uma função ímpar, isto é,
.
-
é uma função periódica de período 1.
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pede para verificar as propriedades de sobrejetividade, injetividade, existência de inversa, resolver a desigualdade
, paridade, ímparidade e periodicidade, somando os números das afirmações corretas.
Passo 2
Verificamos a sobrejetividade. A imagem de
é
logo valores negativos não são atingidos e
não é sobrejetiva. A afirmação 01 é verdadeira.
Passo 3
Verificamos a injetividade. Se
, isto é
, pode ocorrer
(por exemplo,
e
dão ambos
). Logo
não é injetiva, e a afirmação 02 é falsa.
Passo 4
A existência de inversa exige bijetividade. Como vimos
não é injetiva nem sobrejetiva, não é bijetiva e portanto não possui inversa. A afirmação 04 é falsa.
Passo 5
Resolvemos a desigualdade
:
isso equivale a
Portanto a afirmação 08 é verdadeira.
Passo 6
Verificamos se
é par: comparamos
e
. Como
em geral,
não é par. A afirmação 16 é falsa.
Passo 7
Verificamos se
é ímpar: seria necessário
, mas
e
, claramente não coincidem. A afirmação 32 é falsa.
Passo 8
Verificamos periodicidade de período
: seria
para todo
, mas
e
em geral. A afirmação 64 é falsa.
Resposta
Soma das alternativas corretas:
.