Considere a função f: R R tal que f(x)=|x-1|.
Calcule a soma dos números associados à(s) alternativa(s) correta(s).
  1. A função f não é sobrejetiva.
  2. A função f é injetiva.
  3. A função f possui uma inversa.
  4. f(x) <= 1 se, e somente se, 0 <= x <= 2.
  5. f é uma função par, isto é, f(-x)=f(x).
  6. f é uma função ímpar, isto é, f(-x)=-f(-x).
  7. f é uma função periódica de período 1.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
fcolon RtoR, f(x)=|x-1|
e pede para verificar as propriedades de sobrejetividade, injetividade, existência de inversa, resolver a desigualdade f(x)<= 1, paridade, ímparidade e periodicidade, somando os números das afirmações corretas.

Passo 2

Verificamos a sobrejetividade. A imagem de f é
,yinRmid y=|x-1| para algum x =ymid y>= 0=[0,infty),
logo valores negativos não são atingidos e f não é sobrejetiva. A afirmação 01 é verdadeira.

Passo 3

Verificamos a injetividade. Se f(x1)=f(x2), isto é |x1-1|=|x2-1|, pode ocorrer x1neq x2 (por exemplo, x1=0 e x2=2 dão ambos 1). Logo f não é injetiva, e a afirmação 02 é falsa.

Passo 4

A existência de inversa exige bijetividade. Como vimos f não é injetiva nem sobrejetiva, não é bijetiva e portanto não possui inversa. A afirmação 04 é falsa.

Passo 5

Resolvemos a desigualdade f(x)<= 1:
|x-1|<= 1
isso equivale a
-1<= x-1<= 1 Longrightarrow 0<= x<= 2
Portanto a afirmação 08 é verdadeira.

Passo 6

Verificamos se f é par: comparamos f(-x)=|-x-1|=|-(x+1)|=|x+1| e f(x)=|x-1|. Como |x+1|neq|x-1| em geral, f não é par. A afirmação 16 é falsa.

Passo 7

Verificamos se f é ímpar: seria necessário f(-x)=-,f(x), mas f(-x)=|x+1| e -,f(x)=-|x-1|, claramente não coincidem. A afirmação 32 é falsa.

Passo 8

Verificamos periodicidade de período 1: seria f(x+1)=f(x) para todo x, mas
f(x+1)=|x+1-1|=|x|e f(x)=|x-1|,
e |x|neq|x-1| em geral. A afirmação 64 é falsa.

Resposta

Soma das alternativas corretas: 01+08 = 1 + 8 = 9.

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