24.7 Dado tg t=724, t no quadrante III, encontre sen 2 t e cos 2 t.
Da informação dada, segue-se que sec t=-raiz1+tg^2 t=-raiz1+(724)^2=-2524. Logo, cos t=2425 e sen t=-725. Agora aplique as fórmulas de ângulo duplo para seno e cosseno:
sen 2 t=2 sen t cos t=2(-725)(-2425)=336625 cos 2 t=cos ^2 t-sen^2 t=(-2425)^2-(-725)^2=527625
Para fins de verificação, note que sen^2 2 t+cos ^2 2 t=(336625)^2+(527625)^2=1 como esperado.

Passo 1

O enunciado dá tan t = tfrac724 com t no quadrante III e pede para encontrar sen 2t e cos 2t. O conteúdo envolvido aqui são identidades trigonométricas: relação entre seno, cosseno e tangente num triângulo retângulo e fórmulas de ângulo duplo.

Passo 2

Para achar sen t e cos t a partir de tan t fazemos um triângulo retângulo com catetos de comprimento |oposto|=7 e |adjacente|=24, de modo que a hipotenusa vale raiz7^2+24^2=25. Como t está no III quadrante, tanto sen t quanto cos t são negativos, logo
sen t = -725, cos t = -2425

Passo 3

Aplicamos a fórmula de ângulo duplo para o seno:
sen 2t = 2,sen t,cos t = 2l(-tfrac725r)l(-tfrac2425r) = 336625

Passo 4

Agora usamos a fórmula de ângulo duplo para o cosseno:
cos 2t = cos^2 t - sen^2 t = l(-tfrac2425r)^2 - l(-tfrac725r)^2 = 576625 - 49625 = 527625

Resposta

sen 2t = 336625, cos 2t = 527625.

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