24.6 Demonstre a fórmula de ângulo duplo para seno e cosseno.
Comece com a fórmula da soma para senos e faça u=v=theta. Então
sen 2 theta=sen(theta+theta)=sen theta cos theta+cos theta sen theta=2 sen theta cos theta
Similarmente para cossenos:
cos 2 theta=cos (theta+theta)=cos theta cos theta-sen theta sen theta=cos ^2 theta-sen^2 theta
Para demonstrar as outras formas da fórmula do ângulo duplo para cosseno, aplique as identidades pitagóricas:
cos 2 theta=cos ^2 theta-sen^2 theta=1-sen^2 theta-sen^2 theta=1-2 sen^2 theta
Também,
cos 2 theta=cos ^2 theta-sen^2 theta=cos ^2 theta-(1-cos ^2 theta)=2 cos ^2 theta-1

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar as fórmulas de ângulo duplo para seno e cosseno. Vamos usar a fórmula de soma de ângulos
sin(u+v)=sin ucos v+cos usin v
e
cos(u+v)=cos ucos v-sin usin v
além da identidade pitagórica
cos^2theta+sin^2theta=1.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de soma de senos com u=v=theta. Assim,
sin2theta=sin(theta+theta) =sinthetacostheta+costhetasintheta =2sinthetacostheta

Passo 3

Aplicamos a fórmula de soma de cossenos com u=v=theta. Assim,
cos2theta=cos(theta+theta) =costhetacostheta-sinthetasintheta =cos^2theta-sin^2theta

Passo 4

Usamos cos^2theta+sin^2theta=1 para reescrever cos2theta em outras formas:
cos2theta =cos^2theta-sin^2theta =1-sin^2theta-sin^2theta =1-2sin^2theta,
cos2theta =cos^2theta-l(1-cos^2thetar) =2cos^2theta-1

Resposta

sin2theta=2sinthetacostheta
cos2theta=cos^2theta-sin^2theta =1-2sin^2theta =2cos^2theta-1

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