É dado um cone cujo raio da base é R e cuja altura é
. Inscreva um cilindro de modo que a área lateral deste seja igual à área lateral do cone parcial, determinado pela base superior do cilindro.
Passo 1
O enunciado dá um cone de base de raio
e altura
. Inscrevemos nesse cone um cilindro cuja base maior coincide com a base do cone e cuja face superior fica numa secção circular do cone. Seja
o raio do cilindro e
a sua altura. Queremos que a área lateral do cilindro seja igual à área lateral do cone “pequeno” que fica acima do cilindro (isto é, o cone que tem por base a face superior do cilindro e por vértice o ápice do cone original). Para resolver, usaremos semelhança de triângulos (para relacionar
e
) e depois igualaremos as duas áreas laterais.
Passo 2
Pela semelhança entre o triângulo gerador do cone e o triângulo gerador do cone pequeno acima do cilindro, temos
Passo 3
A área lateral do cilindro é
A área lateral do cone pequeno (raio da base
e altura
) é
onde
é a geratriz desse cone:
Passo 4
Igualando as áreas:
Substituímos
e obtemos
Passo 5
Multiplicando por
e rearranjando surgirá a equação quadrática em
. Resolvendo, escolhemos a raiz que satisfaz
:
Passo 6
Finalmente, o raio do cilindro é
Resposta
A altura do cilindro é
e o raio vale