É dado um cone cujo raio da base é R e cuja altura é h. Inscreva um cilindro de modo que a área lateral deste seja igual à área lateral do cone parcial, determinado pela base superior do cilindro.

Passo 1

O enunciado dá um cone de base de raio R e altura h. Inscrevemos nesse cone um cilindro cuja base maior coincide com a base do cone e cuja face superior fica numa secção circular do cone. Seja r o raio do cilindro e y a sua altura. Queremos que a área lateral do cilindro seja igual à área lateral do cone “pequeno” que fica acima do cilindro (isto é, o cone que tem por base a face superior do cilindro e por vértice o ápice do cone original). Para resolver, usaremos semelhança de triângulos (para relacionar r e y) e depois igualaremos as duas áreas laterais.

Passo 2

Pela semelhança entre o triângulo gerador do cone e o triângulo gerador do cone pequeno acima do cilindro, temos
rR ;=;h-yh Longrightarrow r = R,h-yh

Passo 3

A área lateral do cilindro é
Arm cil = 2pi,r,y
A área lateral do cone pequeno (raio da base r e altura h-y) é
Arm cone = pi,r,s,
onde s é a geratriz desse cone:
s = raiz(h-y)^2 + r^2

Passo 4

Igualando as áreas:
2pi,r,y = pi,r,s Longrightarrow 2y = s Longrightarrow 4y^2 = (h-y)^2 + r^2
Substituímos r = R,(h-y)/h e obtemos
4y^2 = (h-y)^2 + l(Rh-yhr)^2 = (h-y)^2gl(1 + R^2h^2gr) = (h-y)^2h^2+R^2h^2

Passo 5

Multiplicando por h^2 e rearranjando surgirá a equação quadrática em y. Resolvendo, escolhemos a raiz que satisfaz 0<y<h:
y = 2h^2raizh^2+R^2 ;-; h,(h^2+R^2)3h^2 - R^2

Passo 6

Finalmente, o raio do cilindro é
r = R,h-yh = 2R,h,(2h - raizh^2+R^2)3h^2 - R^2

Resposta

A altura do cilindro é
y = 2h^2raizh^2+R^2 - h,(h^2+R^2)3h^2 - R^2,
e o raio vale
r = 2R,h,(2h - raizh^2+R^2)3h^2 - R^2

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