Determine o volume da esfera inscrita num tetraedro regular de aresta a.

Passo 1

O enunciado pede o volume da esfera inscrita em um tetraedro regular de aresta a.
Conteúdo: geometria de sólidos (tetrágono regular e esfera inscrita), cálculo de in-raio e volume de esfera.

Passo 2

Calcular o volume do tetraedro regular. A fórmula é
Vtetra = a^3raiz212

Passo 3

Calcular a área total das quatro faces (cada face é um triângulo equilátero de lado a). A área de uma face vale
Aface = raiz34a^2,
logo a área total é
Stotal = 4 times Aface = a^2raiz3

Passo 4

Usar a relação entre in-raio r, volume Vtetra e área total Stotal, que é
r = 3,VtetraStotal
Substituindo os valores:
r = 3 ,l(tfraca^3raiz212r)a^2raiz3 = araiz24raiz3 = araiz612

Passo 5

Calcular o volume da esfera de raio r. A fórmula do volume da esfera é
Vesfera = 43,pi,r^3
Substituindo r = tfracaraiz612:
Vesfera = 43,pi, l(araiz612r)^!3 = 43,pi, a^3,(6raiz6)1728 = pi,a^3raiz6216

Resposta

Vesfera = pi,a^3raiz6216

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