Um vaso cilíndrico cujo raio da base é r e cuja altura é 2 r está cheio de água. Mergulha-se nesse vaso um tetraedro regular até que sua base fique inscrita na base do cilindro. Há transbordamento da água. Retirando-se o tetraedro do vaso, qual é a altura da coluna de água?

Passo 1

O enunciado dá um cilindro de raio r e altura 2r, totalmente cheio de água, e um tetraedro regular cujo vértice da base forma um triângulo equilátero inscrito na base circular do cilindro. Ao mergulhar esse tetraedro, ele desloca água igual ao seu próprio volume. Retirando-o, o nível da água baixa; queremos achar a nova altura h da coluna de água. Para resolver, vamos calcular:
  1. o volume do cilindro,
  2. o volume do tetraedro regular de aresta inscrevível na base,
  3. subtrair o volume deslocado e dividir pelo área da base do cilindro.

Passo 2

Primeiro, a aresta a do tetraedro é igual ao lado do triângulo equilátero inscrito num círculo de raio r. Numa circunferência de raio R, o lado de um triângulo equilátero inscrito vale
a = 2Rsin!l(60^circr) = 2rcdotraiz32 = raiz3,r

Passo 3

O volume de um tetraedro regular de aresta a é
Vtet = a^36raiz2
Substituindo a = raiz3,r:
Vtet = (raiz3,r)^36raiz2 = 3raiz3,r^36raiz2 = raiz32raiz2,r^3 = raiz64,r^3

Passo 4

O volume inicial de água no cilindro é
Vcil = pi r^2 times (2r) = 2pi,r^3
Ao mergulhar completamente o tetraedro sob a água (altura do tetraedro raiz2,r < 2r), transborda exatamente Vtet. Após retirá-lo, o novo volume de água é
Vnovo = Vcil - Vtet = 2pi,r^3 - raiz64,r^3

Passo 5

A nova altura h da coluna de água preenche o cilindro de base área pi r^2, logo
h = Vnovopi r^2 = 2pi,r^3 - raiz64,r^3pi r^2 = 2r ;-;raiz64pi,r = rl(2 - raiz64pir)

Resposta

A altura da coluna de água, depois de retirar o tetraedro, é
h = rl(2 - raiz64pir)

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