Um vaso cilíndrico cujo raio da base é
e cuja altura é
está cheio de água. Mergulha-se nesse vaso um tetraedro regular até que sua base fique inscrita na base do cilindro. Há transbordamento da água. Retirando-se o tetraedro do vaso, qual é a altura da coluna de água?
Passo 1
O enunciado dá um cilindro de raio
e altura
, totalmente cheio de água, e um tetraedro regular cujo vértice da base forma um triângulo equilátero inscrito na base circular do cilindro. Ao mergulhar esse tetraedro, ele desloca água igual ao seu próprio volume. Retirando-o, o nível da água baixa; queremos achar a nova altura
da coluna de água. Para resolver, vamos calcular:
- o volume do cilindro,
- o volume do tetraedro regular de aresta inscrevível na base,
- subtrair o volume deslocado e dividir pelo área da base do cilindro.
Passo 2
Primeiro, a aresta
do tetraedro é igual ao lado do triângulo equilátero inscrito num círculo de raio
. Numa circunferência de raio
, o lado de um triângulo equilátero inscrito vale
Passo 3
O volume de um tetraedro regular de aresta
é
Substituindo
:
Passo 4
O volume inicial de água no cilindro é
Ao mergulhar completamente o tetraedro sob a água (altura do tetraedro
), transborda exatamente
. Após retirá-lo, o novo volume de água é
Passo 5
A nova altura
da coluna de água preenche o cilindro de base área
, logo
Resposta
A altura da coluna de água, depois de retirar o tetraedro, é