Ex. 8.12 - Dado epsilon>0 arbitrário, determine, em cada caso, m in N^* tal que an in ( L-epsilon, L+epsilon ) para todo n >= m, onde:
an=n^29-n^2 e L=-1

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre, a partir da definição de limite de sequência, que limntoinftyan=-1 no sentido de que, dado qualquer epsilon>0, existe minN^* tal que
anin(-1-epsilon,,-1+epsilon)
para todo n>= m. Aqui an=n^29-n^2 e L=-1.

Passo 2

Para usar a definição, precisamos controlar
l|an - Lr| = l|n^29-n^2 - (-1)r| = l|n^29-n^2 + 1r|

Passo 3

Compute o numerador comum:
n^29-n^2 + 1 = n^2 + (9-n^2)9-n^2 = 99-n^2
Como para n>=4 temos 9-n^2<0, a distância é
l|an+1r| = 9n^2-9

Passo 4

Queremos
9n^2-9 < epsilon
Isso equivale a
n^2 - 9 > 9epsilon Long<=ftrightarrow n^2 > 9epsilon + 9 Long<=ftrightarrow n > raiz9epsilon + 9

Passo 5

Para garantir n>=4 e ao mesmo tempo satisfazer a última desigualdade, basta escolher
m = maxl4,;llceil raiz9epsilon+9rrceilr
Então, para todo n>= m teremos l|an - (-1)r|<epsilon, como queríamos.

Resposta

m = maxl4,;llceil raiz9epsilon+9rrceilr

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