Ex. 8.28 - Calcule os seguintes limites:
lim n infty n-raizn^2+2

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an = n - raizn^2 + 2
quando n to infty. Estamos no tema de limites de sequências envolvendo expressões crescentes de ordem n e raízes, e vamos usar o truque de racionalizar a diferença para simplificar a forma e poder avaliar o comportamento quando n cresce muito.

Passo 2

Para racionalizar, multiplicamos e dividimos por n + raizn^2 + 2, ou seja,
an = n - raizn^2 + 2 = l(n - raizn^2 + 2r)l(n + raizn^2 + 2r)n + raizn^2 + 2

Passo 3

No numerador temos uma diferença de quadrados:
l(n - raizn^2 + 2r)l(n + raizn^2 + 2r) = n^2 - l(n^2 + 2r) = -2
Logo
an = -2,n + raizn^2 + 2,

Passo 4

Quando n to infty, tanto n quanto raizn^2+2 crescem aproximadamente como n, então o denominador cresce como 2n. Assim
limntoinfty an = limntoinfty -2n + raizn^2 + 2 = 0

Resposta

0

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