Ex. 8.15 - Em cada caso abaixo, determine m in N^* de modo que
n^2+n+1n>100, para todo n >= m.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o menor minN^* tal que, para todo n>= m, valha
n^2+n+1n>100
Vamos transformar essa desigualdade em uma forma de fácil resolução, usando álgebra elementar.

Passo 2

Escrevemos a fração em termos mais simples:
n^2+n+1n ;=; n + 1 + 1n
Isso facilita impor a condição de ser maior que 100.

Passo 3

Impondo
n + 1 + 1n > 100,
e sabendo que n>0, multiplicamos ambos os lados por n para eliminar o denominador, obtendo a inequação quadrática
n^2 - 99,n + 1 > 0

Passo 4

Para resolver
n^2 - 99,n + 1 > 0
calculamos primeiro as raízes da equação associada
n^2 - 99,n + 1 = 0
O discriminante é
De<a = (-99)^2 - 4cdot1cdot1 = 9801 - 4 = 9797
As raízes são
n = 99 pm raiz97972
Como raiz9797approx98,99, as raízes aproximam-se de 0,01 e 98,99. O coeficiente de n^2 é positivo, portanto a inequação é satisfeita para n<0,01 ou n>98,99. No domínio ninN^* interessa a segunda condição: n>98,99.

Passo 5

Portanto, o menor inteiro que satisfaz a desigualdade é n=99. Logo, ao escolher
m = 99,
garantimos que para todo n>= m vale n^2+n+1n>100.

Resposta

m = 99

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