Ex. 8.15 - Em cada caso abaixo, determine
de modo que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o menor
tal que, para todo
, valha
Vamos transformar essa desigualdade em uma forma de fácil resolução, usando álgebra elementar.
Passo 2
Escrevemos a fração em termos mais simples:
Isso facilita impor a condição de ser maior que
.
Passo 3
Impondo
e sabendo que
, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador, obtendo a inequação quadrática
Passo 4
Para resolver
calculamos primeiro as raízes da equação associada
O discriminante é
As raízes são
Como
, as raízes aproximam-se de
e
. O coeficiente de
é positivo, portanto a inequação é satisfeita para
ou
. No domínio
interessa a segunda condição:
.
Passo 5
Portanto, o menor inteiro que satisfaz a desigualdade é
. Logo, ao escolher
garantimos que para todo
vale
.