10.1.7 Dado que \mathcal{L} u=0 e g \mathcal{L} u é auto-adjunta, mostre que para o operador adjunto \overline{\mathcal{L}}, \overline{\mathcal{L}}(g u)=0.

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear \mathcal{L} e uma função u tal que
\mathcal{L}u=0,
além de sabermos que o operador composto g\,\mathcal{L} é auto-adjunto. Precisamos mostrar que o adjunto de \mathcal{L}, que chamaremos de \overline{\mathcal{L}} ou \mathcal{L}^*, satisfaz
\overline{\mathcal{L}}\,(g\,u)=0.
O conteúdo envolve definição de operador adjunto e propriedade de operadores auto-adjuntos.

Passo 2

Definição de adjunto: para um operador linear A num espaço com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle, o adjunto A^* é o operador que satisfaz
\langle A v,\,w\rangle \;=\;\langle v,\,A^* w\rangle \quad\forall\,v,w.
Um operador M é auto-adjunto se M^*=M, i.e.
\langle M v,\,w\rangle=\langle v,\,M w\rangle\quad\forall\,v,w.

Passo 3

Como g\,\mathcal{L} é auto-adjunto, temos
\langle g\,\mathcal{L}v,\;w\rangle = \langle v,\;g\,\mathcal{L}w\rangle \quad\forall\,v,w.
Por outro lado, como g é apenas multiplicação por uma função real, vale também
\langle g\,\mathcal{L}v,\;w\rangle = \langle \mathcal{L}v,\;g\,w\rangle = \langle v,\;\mathcal{L}^*(g\,w)\rangle.
Comparando as duas expressões, concluímos que
\mathcal{L}^*(g\,w)=g\,\mathcal{L}w \quad\forall\,w.

Passo 4

Basta agora escolher w=u. Como \mathcal{L}u=0, obtemos
\mathcal{L}^*(g\,u) = g\,\mathcal{L}u = g\cdot0 = 0.

Resposta

\overline{\mathcal{L}}\,(g\,u)=0.

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