10.1.15 A e B são operadores não-comutativos da Mecânica Quântica:
A B-B A=i C
Mostre que C é hermitiano. Admita que as condições de contornos adequadas são satisfeitas.

Passo 1

O enunciado nos dá dois operadores de Mecânica Quântica A e B (que representam observáveis, logo são hermitianos: A^\dagger = A, B^\dagger = B) e a relação de comutador
A B - B A = i\,C.
Precisaremos usar as propriedades do adjunto (hermitian conjugate):
  1. (AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger,
  2. (\lambda X)^\dagger = \lambda^* X^\dagger para escalar \lambda,
    e o fato de que i^* = -i.

Passo 2

Tomamos o adjunto (hermitian conjugate) de ambos os lados da igualdade
A B - B A = i\,C.
Isso nos dá
\bigl(A B - B A\bigr)^\dagger = \bigl(i\,C\bigr)^\dagger.

Passo 3

Calculamos o adjunto do lado esquerdo usando (AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger e A^\dagger=A, B^\dagger=B:
\bigl(A B - B A\bigr)^\dagger = (AB)^\dagger - (BA)^\dagger = B^\dagger A^\dagger - A^\dagger B^\dagger = BA - AB = -\bigl(AB - BA\bigr).

Passo 4

Calculamos o adjunto do lado direito usando (i\,C)^\dagger = i^*\,C^\dagger = -i\,C^\dagger:
\bigl(i\,C\bigr)^\dagger = -i\,C^\dagger.

Passo 5

Igualando os dois resultados:
-\bigl(AB - BA\bigr) = -i\,C^\dagger.
Mas da equação original \,AB - BA = i\,C, temos
-\bigl(AB - BA\bigr) = -i\,C.
Logo
-i\,C = -i\,C^\dagger \quad\Longrightarrow\quad C = C^\dagger,
o que mostra que C é hermitiano.

Resposta

C é hermitiano.

Exercícios de Livros Relacionados