10.1.15
e
são operadores não-comutativos da Mecânica Quântica:
Mostre que
é hermitiano. Admita que as condições de contornos adequadas são satisfeitas.
Passo 1
O enunciado nos dá dois operadores de Mecânica Quântica
e
(que representam observáveis, logo são hermitianos:
,
) e a relação de comutador
Precisaremos usar as propriedades do adjunto (hermitian conjugate):
-
, -
para escalar ,
e o fato de que.
Passo 2
Tomamos o adjunto (hermitian conjugate) de ambos os lados da igualdade
Isso nos dá
Passo 3
Calculamos o adjunto do lado esquerdo usando
e
,
:
Passo 4
Calculamos o adjunto do lado direito usando
:
Passo 5
Igualando os dois resultados:
Mas da equação original
, temos
Logo
o que mostra que
é hermitiano.