Considere que as soluções das equações de Legendre, Chebyshev, Hermite e Laguerre são polinômios. Mostre que os intervalos de integração que garantem que as condições de contorno do operador hermitiano serão satisfeitas são
(d) Laguerre [0, \infty).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para os polinômios de Laguerre – soluções da equação
x \frac{d^2y}{dx^2} + (1 - x)\frac{dy}{dx} + n\,y = 0
– o intervalo natural que garante que o operador de Sturm–Liouville seja hermitiano é [0,\infty). Para isso, vamos reescrever a equação na forma auto-adjunta
\frac{d}{dx}\Bigl[p(x)\,\frac{dy}{dx}\Bigr] + \lambda\,w(x)\,y = 0
e verificar que o termo de contorno
\bigl[p(x)\,(u\,v' - u'\,v)\bigr]_{0}^{\infty}
é zero.

Passo 2

Multiplicando a equação original por e^{-x} obtemos
e^{-x}\,x\,y'' + e^{-x}(1 - x)\,y' + n\,e^{-x}\,y = 0,
que pode ser reconhecida como
\frac{d}{dx}\Bigl[x\,e^{-x}\,y'\Bigr] + n\,e^{-x}\,y = 0.
Dessa forma identificamos
p(x) = x\,e^{-x}, \quad w(x)=e^{-x}, \quad \lambda = n.

Passo 3

A hermiticidade de um operador de Sturm–Liouville exige que, para quaisquer funções u,v,
\int_{a}^{b} u\,L[v]\,w\,dx = \int_{a}^{b} v\,L[u]\,w\,dx + \bigl[p(x)\,(u\,v' - u'\,v)\bigr]_{a}^{b}.
Para L ser hermitiano, o termo de contorno
\bigl[p(x)\,(u\,v' - u'\,v)\bigr]_{a}^{b}
deve anular em x=a e x=b.

Passo 4

Escolhendo a=0 e b\to\infty:
  • Em x=0, p(0)=0, logo
    \bigl.p(x)(u\,v'-u'\,v)\bigr|_{x=0}=0.
  • Em x\to\infty, p(x)=x\,e^{-x} decai exponencialmente enquanto u,v são polinômios, então
    \lim_{x\to\infty}p(x)(u\,v'-u'\,v)=0.
Portanto o termo de contorno desaparece em ambas as extremidades.

Resposta

O intervalo que garante as condições de contorno para o operador hermitiano associado aos polinômios de Laguerre é [0,\infty).

Exercícios de Livros Relacionados