10.1.1 Mostre que a EDO de Laguerre, Equação (13.52), pode ser posta em forma auto-adjunta multiplicando por
e que
é a função de peso.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação de Laguerre, dada em
pode ser escrita na forma auto-adjunta (Sturm--Liouville) multiplicando-se por
, e que a função de peso resultante é
.
Passo 2
Começamos multiplicando ambos os lados de
por
. Obtemos
Passo 3
Note que os dois primeiros termos desta expressão coincidem com a derivada de
De fato, aplicando a regra do produto e da cadeia:
Passo 4
Substituindo esse resultado na equação multiplicada, a EDO fica
Este é exatamente o formato
com
.
Passo 5
Comparando com a forma padrão de Sturm--Liouville, identificamos
Portanto a equação é auto-adjunta e a função de peso é
.
Resposta
A forma auto-adjunta é
e a função de peso é
.