10.1.1 Mostre que a EDO de Laguerre, Equação (13.52), pode ser posta em forma auto-adjunta multiplicando por e^{-x} e que w(x)=e^{-x} é a função de peso.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação de Laguerre, dada em
x\,y''+(1 - x)\,y'+n\,y=0,
pode ser escrita na forma auto-adjunta (Sturm--Liouville) multiplicando-se por e^{-x}, e que a função de peso resultante é w(x)=e^{-x}.

Passo 2

Começamos multiplicando ambos os lados de
x\,y''+(1 - x)\,y'+n\,y=0
por e^{-x}. Obtemos
e^{-x}\,x\,y''+e^{-x}(1 - x)\,y'+n\,e^{-x}\,y=0.

Passo 3

Note que os dois primeiros termos desta expressão coincidem com a derivada de
x\,e^{-x}\,y'.
De fato, aplicando a regra do produto e da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^{-x}\,y'\bigr) =e^{-x}\,x\,y''+e^{-x}\,(1 - x)\,y'.

Passo 4

Substituindo esse resultado na equação multiplicada, a EDO fica
\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^{-x}\,y'\bigr)+n\,e^{-x}\,y=0.
Este é exatamente o formato
\bigl[p(x)\,y'\bigr]'+\lambda\,w(x)\,y=0
com \lambda=n.

Passo 5

Comparando com a forma padrão de Sturm--Liouville, identificamos
p(x)=x\,e^{-x}, \quad w(x)=e^{-x}, \quad q(x)=0, \quad \lambda=n.
Portanto a equação é auto-adjunta e a função de peso é w(x)=e^{-x}.

Resposta

A forma auto-adjunta é
\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^{-x}\,y'\bigr)+n\,e^{-x}\,y=0
e a função de peso é w(x)=e^{-x}.

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